Algorytm linearyzacji statycznej

Algorytm linearyzacji statycznej – jeden z algorytmów służących do sterowania manipulatorem elastycznym. Pozwala on zamienić nieliniowy układ w poczwórny integrator.

Model

Model manipulatora zapisany jest jako:

$M_1{q}_1^{{\text{'}}^{\prime }}+C{q}_1^{\text{'}}+D_1+K(q_1-q_2)=0$

$I{q}_2^{{\text{'}}^{\prime }}+K(q_2-q_1)=u$

Równoważny opis obiektu

Powyższy model można zapisać także w innej postaci. W tym celu wprowadza się nowe zmienne:

$x_1=q_1,$

$x_2=q_1^{\text{'}},$

$x_3=q_2,$

$x_4=q_2^{\text{'}},$

a następnie wyznacza się ich pochodne (wzory zostały uproszczone, aby nie komplikować zapisu):

$x_1^{\text{'}}=x_2$

$x_2^{\text{'}}=F(x_1,x_2)+H_1(x_1)x_3$

$x_3^{\text{'}}=x_4$

$x_4^{\text{'}}=H_2(x_1,x_3)+I^{-1}u.$

Zmiana współrzędnych

W kolejnym kroku wprowadzane są współrzędne linearyzujące.

${\xi }_1=x_1,$

${\xi }_2=x_2,$

${\xi }_3=F(x_1,x_2)+H_1(x_1)x_3,$

${\xi }_4=H_3(x_1,x_2,x_3)+H_1(x_1)x_4.$

Podobnie jak wcześniej wyznaczane są ich pochodne:

${\xi }_1^{\text{'}}=x_1^{\text{'}}=x_2={\xi }_2,$

${\xi }_2^{\text{'}}=x_2^{\text{'}}={\xi }_3,$

${\xi }_3^{\text{'}}={\xi }_4,$

${\xi }_4^{\text{'}}=H_4(x_1,x_2,x_3,x_4)+H_1(x_1)I^{-1}u.$

Sprzężenie statyczne

Na koniec wprowadzane jest sprzężenie, którego zadaniem będzie pozbycie się nieliniowości ze wzoru na ${\xi }_4^{\text{'}}:$

$u=I{K}^{-1}{M}_1^{-1}[-H_4+v],$

gdzie $v$ to nowe sterowanie.

Uzyskiwany jest w ten sposób układ zapisany jako:

${\xi }_1^{\text{'}}=x_1^{\text{'}}=x_2={\xi }_2,$

${\xi }_2^{\text{'}}=x_2^{\text{'}}={\xi }_3,$

${\xi }_3^{\text{'}}={\xi }_4,$

${\xi }_4^{\text{'}}=v.$

Jest to poczwórny integrator (układ składający się z czterech modułów całkujących).

Śledzenie trajektorii

Zadaniem układu jest śledzenie zadanej trajektorii, tzn. $e=q_1-q_{1d}\to 0.$ Po zastosowaniu sterowania $v$ o odpowiedniej postaci uzyskiwany jest warunek na eksponencjalną zbieżność błędu do zera:

$e^{(4)}+K_3{e}^{(3)}+K_2{e}^{(2)}+K_1{e}^{(1)}+K_{0}e=0.$

W tym przypadku wartości $K_i$ wyznaczane są z twierdzenia Hurwitza.

Zobacz też

• algorytm całkowania wstecznego

Bibliografia

• K.Tchoń, A.Mazur, I.Dulęba, R.Hossa, R.Muszyński, Manipulatory i roboty mobilne. Modele, planowanie ruchu, sterowanie, Warszawa 2000 (Szablon:ISBN).