Nierówność Shapiro

Nierówność Shapiro – nierówność zaproponowana przez amerykańskiego matematyka Shapiro w 1954 r.

Niech $x_1,x_2,\dots ,x_n>0,n\in \mathbb{N}$ oraz

$n⩽12$ będzie liczbą parzystą

albo

$n⩽23$ będzie liczbą nieparzystą.

Oznaczmy także $x_{n+1}=x_1,x_{n+2}=x_2.$ Wówczas zachodzi

$\frac{n}{2}⩽\sum _{i=1}^n\frac{x_i}{x_{i+1}+x_{i+2}}.$

Nierówność ta dla n = 3 nazywana jest nierównością Nesbitta.

Dla większych wartości n nierówność nie zachodzi, a ostrym ograniczeniem dolnym jest $\gamma n,$ gdzie $\gamma \approx 0,494$ jest równe $\psi (0)/2,$ gdzie $\psi$ jest największą funkcją wypukłą, której wykres leży poniżej wykresów $y=e^{-x}$ oraz $y=2{(e^x+e^{\frac{x}{2}})}^{-1}.$ Wartość tej stałej znalazł w 1969 Vladimir Drinfeld.

Dowód nierówności dla n = 1 i n = 2

Dowód nierówności dla $n=1$ oraz $n=2$ jest trywialny.

Gdy $n=1$ nierówność Shapiro ma postać:

$\frac{x_1}{2x_1}⩾\frac{1}{2},$

czyli $\frac{1}{2}⩾\frac{1}{2},$

gdy $n=2$ nierówność Shapiro jest postaci:

$\frac{x_1}{x_1+x_2}+\frac{x_2}{x_2+x_1}⩾1,$

czyli $\frac{x_1+x_2}{x_1+x_2}⩾1$

$1⩾1.$

Dowód nierówności dla n = 3

Skorzystamy z następującego lematu:

${\mathrm{\forall }}_{x\in {ℝ}_{+}}x+\frac{1}{x}⩾2.$

Dowód lematu:

Niech $x$ będzie dowolną liczbą dodatnią. Mamy:

$x+\frac{1}{x}⩾2⟺x^2+1⩾2x⟺x^2-2x+1⩾0⟺(x-1{)}^2⩾0.$

Ostatnia nierówność jest prawdziwa, ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny.

Dowód Nierówności Shapiro, gdy $n=3:$

Mamy wykazać, że:

${\mathrm{\forall }}_{x_1,x_2,x_3\in {ℝ}_{+}}\frac{x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_2}{x_3+x_1}+\frac{x_3}{x_1+x_2}⩾\frac{3}{2}(*)$

Oznaczmy $a=x_2+x_3,$ $b=x_3+x_1,$ $c=x_1+x_2.$ Zatem:

$x_1=\frac{1}{2}(b+c-a),$

$x_2=\frac{1}{2}(a+c-b),$

$x_3=\frac{1}{2}(a+b-c).$

Nierówność $(*)$ możemy więc zapisać następująco:

$\frac{b+c-a}{2a}+\frac{a+c-b}{2b}+\frac{a+b-c}{2c}⩾\frac{3}{2},$ kolejne nierówności są równoważne:

$\frac{b+c-a}{a}+\frac{a+c-b}{b}+\frac{a+b-c}{c}⩾3$

$\frac{b}{a}+\frac{c}{a}-1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}-1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}-1⩾3$

$\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}⩾6$

$(\frac{b}{a}+\frac{a}{b})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})⩾6(**)$

Na mocy lematu mamy:

$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}⩾2$

$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}⩾2$

$\frac{a}{c}+\frac{c}{a}⩾2$

Dodając te nierówności stronami otrzymujemy nierówność $(**),$ co dowodzi, że nierówność $(*)$ jest prawdziwa.

Dowód nierówności dla n = 4

Udowodnimy najpierw następujący lemat:

${\mathrm{\forall }}_{x,y\in ℝ+}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}⩾\frac{4}{x+y}$

Dowód lematu:

Dla dowolnych dodatnich $x,y$ zachodzi $(x-y{)}^2⩾0.$ Mamy:

$(x-y{)}^2⩾0\Rightarrow x^2+y^2⩾2xy\Rightarrow \frac{x^2+y^2}{xy}⩾2\Rightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}⩾2\Rightarrow 2+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}⩾4\Rightarrow \frac{x+y}{x}+\frac{x+y}{y}⩾4\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}⩾\frac{4}{x+y},$ c. n. d.

Dowód Nierówności Shapiro dla n = 4:

Mamy wykazać, że ${\mathrm{\forall }}_{x_1,x_2,x_3,x_4\in {ℝ}_{+}}\frac{x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_2}{x_3+x_4}+\frac{x_3}{x_4+x_1}+\frac{x_4}{x_1+x_2}⩾2$

Zauważmy, że:

$2(\frac{x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_2}{x_3+x_4}+\frac{x_3}{x_4+x_1}+\frac{x_4}{x_1+x_2})=$

$=(\frac{x_1+x_2}{x_2+x_3}+\frac{x_2+x_3}{x_3+x_4}+\frac{x_3+x_4}{x_4+x_1}+\frac{x_4+x_1}{x_1+x_2})+(\frac{x_3}{x_2+x_3}+\frac{x_4}{x_3+x_4}+\frac{x_1}{x_4+x_1}+\frac{x_2}{x_1+x_2})-4+(\frac{x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_2}{x_3+x_4}+\frac{x_3}{x_4+x_1}+\frac{x_4}{x_1+x_2})$

Na mocy nierówności Cauchy’ego mamy:

$\frac{\frac{x_1+x_2}{x_2+x_3}+\frac{x_2+x_3}{x_3+x_4}+\frac{x_3+x_4}{x_4+x_1}+\frac{x_4+x_1}{x_1+x_2}}{4}⩾\sqrt[4]{\frac{x_1+x_2}{x_2+x_3}\cdot \frac{x_2+x_3}{x_3+x_4}\cdot \frac{x_3+x_4}{x_4+x_1}\cdot \frac{x_4+x_1}{x_1+x_2}}=\sqrt[4]{1}=1,$

czyli:

$\frac{x_1+x_2}{x_2+x_3}+\frac{x_2+x_3}{x_3+x_4}+\frac{x_3+x_4}{x_4+x_1}+\frac{x_4+x_1}{x_1+x_2}⩾4$

Mamy zatem:

$(\frac{x_1+x_2}{x_2+x_3}+\frac{x_2+x_3}{x_3+x_4}+\frac{x_3+x_4}{x_4+x_1}+\frac{x_4+x_1}{x_1+x_2})+(\frac{x_3}{x_2+x_3}+\frac{x_4}{x_3+x_4}+\frac{x_1}{x_4+x_1}+\frac{x_2}{x_1+x_2})-4+(\frac{x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_2}{x_3+x_4}+\frac{x_3}{x_4+x_1}+\frac{x_4}{x_1+x_2})⩾$

$⩾4+(\frac{x_3}{x_2+x_3}+\frac{x_4}{x_3+x_4}+\frac{x_1}{x_4+x_1}+\frac{x_2}{x_1+x_2})-4+(\frac{x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_2}{x_3+x_4}+\frac{x_3}{x_4+x_1}+\frac{x_4}{x_1+x_2})=$

$=\frac{x_3}{x_2+x_3}+\frac{x_4}{x_3+x_4}+\frac{x_1}{x_4+x_1}+\frac{x_2}{x_1+x_2}+\frac{x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_2}{x_3+x_4}+\frac{x_3}{x_4+x_1}+\frac{x_4}{x_1+x_2}=$

$=(x_1+x_3)(\frac{1}{x_2+x_3}+\frac{1}{x_4+x_1})+(x_2+x_4)(\frac{1}{x_3+x_4}+\frac{1}{x_1+x_2})$

Na mocy lematu mamy:

$(x_1+x_3)(\frac{1}{x_2+x_3}+\frac{1}{x_4+x_1})+(x_2+x_4)(\frac{1}{x_3+x_4}+\frac{1}{x_1+x_2})⩾$

$⩾(x_1+x_3)\left(\frac{4}{x_1+x_2+x_3+x_4}\right)+(x_2+x_4)\left(\frac{4}{x_1+x_2+x_3+x_4}\right)=(x_1+x_2+x_3+x_4)\left(\frac{4}{x_1+x_2+x_3+x_4}\right)=4$

Zatem udowodniliśmy nierówność:

$2(\frac{x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_2}{x_3+x_4}+\frac{x_3}{x_4+x_1}+\frac{x_4}{x_1+x_2})⩾4$

która jest równoważna nierówności

$\frac{x_1}{x_2+x_3}+\frac{x_2}{x_3+x_4}+\frac{x_3}{x_4+x_1}+\frac{x_4}{x_1+x_2}⩾2,$ cnd.

Zobacz też

• nierówność

Bibliografia

• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• referat na temat Nierówności Shapiro