Twierdzenie Phragména-Lindelöfa

Twierdzenie Phragména-Lindelöfa – Uogólnienie zasady maksymalnego modułu dla funkcji analitycznych na przypadek funkcji, które są z góry określone jako nieograniczone; po raz pierwszy zostało podane w najprostszej formie przez E. Phragména i E. Lindelöfa. Niech dana będzie funkcja ciągła $f(z)$ o argumentach zespolonych oraz ograniczona dla argumentów zawartych w przedziale $\alpha ⩽a⩽\beta$ i holomorficzna wewnątrz tegoż przedziału. Jeśli dla $a=\alpha$ i $a=\beta$ istnieje takie $M,$ że zachodzi $|f(z)|⩽M,$ to ${\mathrm{\forall }}_{z\in <\alpha ,\beta >}:|f(z)|⩽M.$

Jeżeli ponadto ${\mathrm{\exists }}_{q\in <\alpha ,\beta >}:|f(q)|=M,$ to $f$ jest funkcją stałą.

Dowód

• Załóżmy, że

$f(a+b\cdot i)\to 0$

jednostajnie dla $b$ dążącego do $\pm \mathrm{\infty }$ dla $z\in <\alpha ,\beta >.$

Niech $q=a_q+b_q\cdot i\in <\alpha ,\beta >.$

Wtedy ${\mathrm{\exists }}_{m>|b_q|}{\mathrm{\forall }}_{|b|⩾m}{\mathrm{\exists }}_{a\in <\alpha ,\beta >}:|f(a+b\cdot i)|⩽M.$

Niech $P$ będzie wnętrzem prostokąta wyznaczonego przez zbiór:

$Pr=\{a+b\cdot i:\alpha ⩽a⩽\beta \wedge -m⩽b⩽m\}.$

Jeżeli funkcja $f$ jest stała, to twierdzenie jest w oczywisty sposób prawdziwe. W przeciwnym przypadku $f$ nie jest stała w $<\alpha ,\beta >,$ wtedy nie może być stała w $P,$ i na podstawie zasady maksimum $f$ nie osiąga kresu górnego w $P.$ Ponieważ $|f(z)|$ jest ciągła w $Pr,$ to $|f(z)|$ osiąga swój kres górny w $Pr.$ Punkt w którym osiąga ona swój kres górny, nie może należeć do $P,$ a ponieważ $|f(z)|⩽M$ na bokach prostokąta $Pr,$ więc $|f(z)<M$ w $P,$ w szczególności $|f(q)|<M.$

• Niech $f_n(z)=f(z)\cdot {\exp }^{z^{\frac{2}{n}}}=f(z)\cdot {\exp }^{\frac{a^2+b^2}{n}}\cdot {\exp }^{\frac{2\cdot i\cdot a\cdot b}{n}}$ dla $n=1,2,\dots$

będzie funkcją. Jest ona ciągła oraz ograniczona i holomorficzna w $<\alpha ,\beta >.$ Dodatkowo dla $x=\alpha$ i $x=\beta$ zachodzi:

$|f_n(z)|=|f(z)|\cdot {\exp }^{\frac{a^2+b^2}{n}}⩽|f(z)|\cdot {\exp }^{\frac{{\delta }^2}{n}}$ dla $\delta =\max (|\alpha |,|\beta |).$

Ponadto jeżeli $W$ jest stałą wartością ograniczającą $f(z)$ w $<\alpha ,\beta >,$ to przy $y\to \pm \mathrm{\infty }$ jednostajnie dla $a\in <\alpha ,\beta >$ zachodzi:

$|f_n(a+b\cdot i|⩽|f(a+b\cdot i)\cdot {\exp }^{\frac{{\delta }^2}{n}}\cdot {\exp }^{\frac{-b^2}{n}}⩽W\cdot {\exp }^{\frac{{\delta }^2}{n}}\cdot {\exp }^{\frac{-b^2}{n}}\to 0.$

A więc $f_n(z)$ spełnia założenia pierwszej części dowodu.

Jeżeli $q\in <\alpha ,\beta >,$ to $|f_n(q)|<M\cdot {\exp }^{\frac{{\delta }^2}{n}}.$ Przy $n\to \mathrm{\infty }$ $|f(q)⩽M.$ Jeżeli $|f(q)|=M,$ to biorąc otoczenie $G$' punktu $q,$ leżące wewnątrz $<\alpha ,\beta >,$ otrzymuje się $f(z)|⩽M$ dla $z\in G^{\prime }.$ Po zastosowaniu zasady maksimum dla obszaru $G$' otrzymuje się wniosek, że $f$ jest stała w $G$'. Ponieważ $G^{\prime }\in <\alpha ,\beta >,$ więc $f$ jest stała w $<\alpha ,\beta >.$