Szerokość połówkowa

Szerokość połówkowa

Szerokość połówkowa (Szablon:Ang., FWHM, szerokość w połowie wysokości) – wielkość liczbowa używana do opisu szerokości „wybrzuszeń” krzywej lub funkcji. Równa się ona odległości między dwoma punktami na krzywej w których funkcja przyjmuje połowę swojej maksymalnej wartości.

Pojęcie to jest używane w zastosowaniach matematyki (w telekomunikacji, teorii informacji, teorii sygnałów, astronomii i innych).

Definicja formalna

Niech $f$ będzie funkcją określoną na pewnym przedziale $D$ (skończonym lub nie) przyjmującą wartości rzeczywiste. Ponadto, załóżmy, że $f$ osiąga wartość największą $m$ (w pewnym punkcie dziedziny) oraz przyjmuje wartość $\frac{m}{2}$ w dokładnie dwóch punktach $x_1,x_2\in D.$ Wtedy

$\mathrm{FWHM}=\mathrm{FWHM}(f)=|x_1-x_2|.$

Powyższa definicja ma sens dla dużej klasy funkcji, ale rozważa się ją głównie dla funkcji ciągłych, wklęsłych i o wartościach dodatnich (czyli właśnie „wybrzuszeń”). Często własności te uzyskuje się dopiero po obcięciu funkcji do pewnego przedziału skończonego.

Przykłady

• Niech funkcja $f$ będzie gęstością rozkładu normalnego. Wówczas

$\mathrm{FWHM}=\mathrm{FWHM}(f)=2\sqrt{2\ln 2}\sigma \approx 2,35\sigma ,$

gdzie $\sigma$ to odchylenie standardowe.

• Niech $g$ będzie funkcją sinus obciętą do odcinka $[0,\pi ].$ Wtedy

$\mathrm{FWHM}=\mathrm{FWHM}(g)=\frac{2}{3}\pi .$

• Niech $h$ będzie funkcją $h(x)=1-\frac{|x|}{a},$ gdzie $a$ jest stałą dodatnią. Wtedy

$\mathrm{FWHM}=\mathrm{FWHM}(h)=a.$