Stała grawitacji

Stała grawitacji, stała grawitacyjna (oznaczenie: G) – stała fizyczna służąca do opisu pola grawitacyjnego. Jako pierwszy wyznaczył ją Henry Cavendish, używając do tego wagi skręceń (eksperyment Cavendisha). Obecnie używana wartość została opublikowana w 2018 roku przez Komitet Danych dla Nauki i Techniki (CODATA) i wynosi:

$G=6,67430(15)\cdot 10^{-11}\frac{m^3}{kg\cdot s^2},$

gdzie: s – sekunda, m – metr, kg – kilogram.

W astronomii użytecznie jest wyrazić stałą grawitacji jako:

$G=4,3\cdot 10^{-3}\frac{pc}{M_{\odot }}{\left(\frac{km}{s}\right)}^2,$

gdzie ${\mathrm{M}}_{\odot }$ to masa Słońca, zaś pc – parsek.

Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia Newtona, dwa ciała punktowe (tzn. takie, że ich wzajemna odległość jest większa od ich własnych rozmiarów) o masach $m_1$ i $m_2,$ odległe o $r,$ działają na siebie z siłą, której wartość wynosi:

$F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}.$

Wzór ten można stosować również dla ciał o symetrii sferycznej. Wówczas $r$ oznacza odległość pomiędzy środkami tych ciał.

W fizyce kwantowej

Dla elektronów oddziaływanie grawitacyjne można uważać za egzotyczne ultrasłabe kulombowskie przyciągające oddziaływanie elektromagnetyczne (elektrostatyczne) 20. rzędu w stałej struktury subtelnej $\alpha .$ Jak łatwo sprawdzić, zachodzi związek, który to wyraża

$G=\frac{4}{3\sqrt[38]{2}}\frac{\hslash c}{m_e^2}{\alpha }^{21}=1,30923\cdot \frac{\hslash c}{m_e^2}{\alpha }^{21}=6,67433\cdot 10^{-11}\frac{m^3}{kg{s}^2},$

lub inaczej wprost

$\frac{G{m}_e^2}{r^2}=\frac{4}{3\sqrt[38]{2}}\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}{\alpha }^{20},$

definiujący też tzw. silną stałą grawitacji dla elektronu

$G_s=\frac{4}{3\sqrt[38]{2}}\frac{\hslash c}{m_e^2}=4,98811\cdot 10^{34}\frac{m^3}{kg{s}^2}.$

Kładąc $r={\overline{\lambda }}_C,$ gdzie ${\overline{\lambda }}_C={\lambda }_C/2\pi$ jest zredukowaną komptonowską długoscią fali, i przepisując równość w języku energii

$\frac{G{m}_e^2}{{\overline{\lambda }}_C}=\frac{4}{3\sqrt[38]{2}}\frac{\hslash c}{{\overline{\lambda }}_C}{\alpha }^{21},$

otrzymujemy energię grawitacyjną oddziaływania dwóch elektronów względem nieskończoności w odległości równej zredukowanej komptonowskiej długości fali w postaci poprawki promienistej typu przesunięcia Lamba w elektrodynamice kwantowej jako

$E_G({\overline{\lambda }}_C)=-\frac{4}{3\sqrt[38]{2}}{\alpha }^{21}{m}_e{c}^2,$

tzn. względem energii spoczynkowej elektronu.

Wynik ten można otrzymać w ramach kwantowej teorii cząstek elementarnych w teorii wszechświata pięciowymiarowego. Daje ona odwrócone spektrum Rydberga cząstek elementarnych o masach $m_n$

$G=\frac{1}{2n^2}\frac{\hslash c}{m_n^2},$

tzn. dla elektronu jako bardzo niskoenergetycznego wzbudzenia próżni

$n\approx {\left(\frac{1}{\alpha }\right)}^{\frac{21}{2}}\sqrt{\frac{3\sqrt[38]{2}}{8}}\approx 16894315429949215866880.$

Podobne, choć trochę odchylone od wartości CODATA i bardziej skomplikowane, wyrażenie znaleziono też z prostych rozważań geometrycznych jako:

$G=4{\pi }^2{\alpha }^2{e}^{-\frac{1}{\sqrt{2}\alpha }}\frac{\hslash c}{m_e^2}=6,6202087\cdot 10^{-11}\frac{m^3}{kg{s}^2},$

ustanawiające równanie nieliniowe na przybliżoną wartość stałej struktury subtelnej:

$\frac{1}{3\sqrt[38]{2}}{\alpha }^{19}={\pi }^2{e}^{-\frac{1}{\sqrt{2}\alpha }}$

dające rozwiązanie: $\alpha =1/137,021676$ wobec wartości CODATA $\alpha =1/137,035999.$

Można też zauważyć, że z bardzo dobrym przybliżeniem

$G=\frac{{\phi }^2}{2}\frac{\hslash c}{m_e^2}{\alpha }^{21}=6,67323\cdot 10^{-11}\frac{m^3}{kg{s}^2}.$

gdzie $\phi$ to tzw. złota liczba. Wzór ten może być jeszcze poprawiony do perfekcyjnej wartości CODATA przez minimalnie podwyższający czynnik kolimujący z długim lecz bardzo łatwym do zapamiętania "odliczającym" ułamkiem $2^{1/4321}$

$G=2^{1/4321}\frac{{\phi }^2}{2}\frac{\hslash c}{m_e^2}{\alpha }^{21}=6,67430\cdot 10^{-11}\frac{m^3}{kg{s}^2}.$