Równanie symetryczne

Równanie symetryczne – równanie algebraiczne postaci

$a_n{x}^n+\dots +a_{1}x+a_0=0,$ gdzie dla każdego i zachodzi $a_{n-i}=a_i.$

Każde równanie symetryczne stopnia co najwyżej $2n+1$ można sprowadzić do równania algebraicznego stopnia co najwyżej $n.$ W szczególności, za pomocą pierwiastników można rozwiązać dowolne równanie symetryczne aż do dziewiątego stopnia.

Pierwiastkiem każdego równania symetrycznego stopnia nieparzystego jest liczba -1. A zatem $W(-1)=0$ i na podstawie twierdzenia Bézouta możemy podzielić obie strony równania równanie przez $x+1,$ otrzymując równanie symetryczne stopnia parzystego.

Aby rozwiązać równanie symetryczne stopnia parzystego:

$a_{2m}{x}^{2m}+a_{2m-1}{x}^{2m-1}+\dots +a_{1}x+a_0=0$

gdzie $a_{2m-k}=a_k$ i $a_{2m}\ne 0$ dzielimy obie strony równania przez $x^m.$ Grupując wyrazy, otrzymujemy

$a_{2m}(x^m+x^{-m})+a_{2m-1}(x^{m-1}+x^{1-m})+\dots +a_{m+1}(x+x^{-1})+a_m=0.$

Podstawmy teraz $y=x+x^{-1}.$ Wówczas sumy $x^k+x^{-k}$ można wyrazić jako wielomiany zmiennej $y:$

$x^2+x^{-2}=y^2-2,$

$x^3+x^{-3}=y^3-3y$

i ogólnie, korzystając ze związku

$(x+x^{-1})(x^n+x^{-n})=x^{n+1}+x^{-n-1}+x^{n-1}+x^{1-n},$

czyli

$x^{n+1}+x^{-n-1}=(x+x^{-1})(x^n+x^{-n})-x^{n-1}-x^{1-n}$

możemy obliczyć $x^{n+1}+x^{-n-1},$ mając $x^n+x^{-n}$ i $x^{n-1}+x^{1-n}.$

Tak więc po podstawieniu $y=x+x^{-1}$ równanie redukuje się do równania stopnia $m:$

$b_m{y}^m+b_{m-1}{y}^{m-1}+\dots +b_{1}y+b_0=0.$

Rozwiązując to równanie, ze związku $y=x+x^{-1}$ otrzymujemy rozwiązania pierwotnego równania.

Przykłady

• Równanie $a{x}^3+b{x}^2+bx+a=0,$ gdzie $a\ne 0.$

Wiedząc, iż rozwiązaniem równania jest -1, dzielimy lewą stronę równania przez $x+1.$ Po podzieleniu otrzymujemy równanie kwadratowe:

$a{x}^2+(b-a)x+a=0.$

• Równanie symetryczne stopnia czwartego zwie się zwyczajowo równaniem zwrotnym

$a{x}^4+b{x}^3+c{x}^2+bx+a=0$ gdzie $\ne 0.$

Dzieląc obustronnie przez $x^2$ i grupując wyrazy, otrzymujemy

$a(x^2+x^{-2})+b(x+x^{-1})+c=0.$

Podstawiając $y=x+x^{-1},$ mamy $x^2+x^{-2}=y^2-2.$ Zatem należy rozwiązać równanie kwadratowe

$a(y^2-2)+by+c=0,$

$a{y}^2+by+c-2a=0$

i korzystając z tych rozwiązań, obliczyć $x.$

Zobacz też

• równanie kwadratowe
• równanie trzeciego stopnia
• równanie czwartego stopnia
• równanie bikwadratowe