Trójkąt liczbowy

Trójkąt liczbowy – poglądowy sposób prezentacji kolejnych wyrazów ciągów dwuwymiarowych (z dwiema zmiennymi indeksującymi) postaci:

$F_{n,k}=f(n,k)F_{n-1,k-1}+g(n,k)F_{n-1,k}$

z warunkami brzegowymi:

$\begin{array}{c}{F}_{n,0}=\alpha \\ F_{n,n}=\beta \end{array}$ gdzie $\alpha ,\beta \in \mathbb{N}.$

Najpopularniejsze trójkąty liczbowe

Trójkąt Pascala

przedstawia elementy opisywane przez symbol Newtona o równaniu rekurencyjnym:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n-1}{k-1})$

z warunkami brzegowymi

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})=1,(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})=1$

$\begin{array}{ccccccccccc}𝐧/𝑘& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ \mathrm{𝟎}& 1\\ \mathrm{𝟏}& 1& 1\\ \mathrm{𝟐}& 1& 2& 1\\ \mathrm{𝟑}& 1& 3& 3& 1\\ \mathrm{𝟒}& 1& 4& 6& 4& 1\\ \mathrm{𝟓}& 1& 5& 10& 10& 5& 1\\ \mathrm{𝟔}& 1& 6& 15& 20& 15& 6& 1\\ \mathrm{𝟕}& 1& 7& 21& 35& 35& 21& 7& 1\\ \mathrm{𝟖}& 1& 8& 28& 56& 70& 56& 28& 8& 1\\ \mathrm{𝟗}& 1& 9& 36& 84& 126& 126& 84& 36& 9& 1\end{array}$

Trójkąt liczb Stirlinga I rodzaju

przedstawia liczby Stirlinga I rodzaju, opisywane równaniem rekurencyjnym:

$\left[\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right]=(n-1)\left[\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right]$

z warunkami początkowymi

$\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right]=1,\left[\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right]=0,\left[\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right]=1$

$\begin{array}{ccccccccccc}𝐧/𝑘& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ \mathrm{𝟎}& 1\\ \mathrm{𝟏}& 0& 1\\ \mathrm{𝟐}& 0& -1& 1\\ \mathrm{𝟑}& 0& 2& -3& 1\\ \mathrm{𝟒}& 0& -6& 11& -6& 1\\ \mathrm{𝟓}& 0& 24& -50& 35& -10& 1\\ \mathrm{𝟔}& 0& -120& 274& -225& 85& -15& 1\\ \mathrm{𝟕}& 0& 720& -1764& 1624& -735& 175& -21& 1\\ \mathrm{𝟖}& 0& -5040& 13068& -13132& 6769& -1960& 322& -28& 1\\ \mathrm{𝟗}& 0& 40320& -109584& 118124& -67284& 22449& -4536& 546& -36& 1\end{array}$

Trójkąt liczb Stirlinga II rodzaju

przedstawia liczby Stirlinga II rodzaju, opisywane równaniem rekurencyjnym:

$\left\{\begin{array}{c}n\\ k\end{array}\right\}=k\left\{\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}\right\}+\left\{\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}\right\}$

z warunkami brzegowymi

$\left\{\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right\}=1,\left\{\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right\}=0,\left\{\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right\}=1$

$\begin{array}{ccccccccccc}𝐧/𝑘& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ \mathrm{𝟎}& 1\\ \mathrm{𝟏}& 0& 1\\ \mathrm{𝟐}& 0& 1& 1\\ \mathrm{𝟑}& 0& 1& 3& 1\\ \mathrm{𝟒}& 0& 1& 7& 6& 1\\ \mathrm{𝟓}& 0& 1& 15& 25& 10& 1\\ \mathrm{𝟔}& 0& 1& 31& 90& 65& 15& 1\\ \mathrm{𝟕}& 0& 1& 63& 301& 350& 140& 21& 1\\ \mathrm{𝟖}& 0& 1& 127& 966& 1701& 1050& 266& 28& 1\\ \mathrm{𝟗}& 0& 1& 255& 3025& 7770& 6951& 2646& 462& 36& 1\end{array}$

Trójkąt liczb Eulera I rzędu

przedstawia liczby Eulera I rzędu, postaci:

$⟨\begin{array}{c}n\\ k\end{array}⟩=(k+1)⟨\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}⟩+(n-k)⟨\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}⟩$

z warunkami brzegowymi

$⟨\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}⟩=1,⟨\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}⟩=1,⟨\begin{array}{c}n\\ n\end{array}⟩=0$

$\begin{array}{ccccccccccc}𝐧/𝑘& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ \mathrm{𝟎}& 1\\ \mathrm{𝟏}& 1& 0\\ \mathrm{𝟐}& 1& 1& 0\\ \mathrm{𝟑}& 1& 4& 1& 0\\ \mathrm{𝟒}& 1& 11& 11& 1& 0\\ \mathrm{𝟓}& 1& 26& 66& 26& 1& 0\\ \mathrm{𝟔}& 1& 57& 302& 302& 57& 1& 0\\ \mathrm{𝟕}& 1& 120& 1191& 2416& 1191& 120& 1& 0\\ \mathrm{𝟖}& 1& 247& 4293& 15619& 15619& 4293& 247& 1& 0\\ \mathrm{𝟗}& 1& 502& 14608& 88234& 156190& 88234& 14608& 502& 1& 0\end{array}$

Trójkąt liczb Eulera II rzędu

Przedstawia liczby Eulera II rzędu, postaci:

$⟨⟨\begin{array}{c}n\\ k\end{array}⟩⟩=(k+1)⟨⟨\begin{array}{c}n-1\\ k\end{array}⟩⟩+(2n-1-k)⟨⟨\begin{array}{c}n-1\\ k-1\end{array}⟩⟩$

z warunkami brzegowymi

$⟨⟨\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}⟩⟩=1,⟨⟨\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}⟩⟩=1,⟨⟨\begin{array}{c}n\\ n\end{array}⟩⟩=0$

$\begin{array}{ccccccccccc}𝐧/𝑘& 0& 1& 2& 3& 4& 5& 6& 7& 8& 9\\ \mathrm{𝟎}& 1\\ \mathrm{𝟏}& 1& 0\\ \mathrm{𝟐}& 1& 2& 0\\ \mathrm{𝟑}& 1& 8& 6& 0\\ \mathrm{𝟒}& 1& 22& 58& 24& 0\\ \mathrm{𝟓}& 1& 52& 328& 444& 120& 0\\ \mathrm{𝟔}& 1& 114& 1452& 4400& 3708& 720& 0\\ \mathrm{𝟕}& 1& 240& 5610& 32120& 58140& 33984& 5040& 0\\ \mathrm{𝟖}& 1& 494& 19950& 195800& 644020& 785304& 341136& 40320& 0\\ \mathrm{𝟗}& 1& 1004& 67260& 1062500& 5765500& 12440064& 11026296& 3733920& 362880& 0\end{array}$