Wielomiany Laguerre’a

Wykresy pierwszych czterech wielomianów Laguerre’a

Wielomiany Laguerre’a – wielomiany o współczynnikach rzeczywistych zdefiniowane jako:

$L_n(x)=\frac{e^x}{n!}\frac{d^n}{d{x}^n}\left(x^n{e}^{-x}\right).$

Funkcja generująca

Wielomiany Laguerre’a są współczynnikami przy potęgach $z$ w rozwinięciu w szereg Maclaurina funkcji:

$g(x,z)=\frac{\exp (-\frac{zx}{1-z})}{1-z}.$

Zachodzi zależność:

$g(x,z)=\frac{\exp (-\frac{zx}{1-z})}{1-z}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{L}_n(x)z^n.$

Własności

• $L_n(0)=1$

• $L_n(x)=\frac{e^x}{2\pi i}\oint \frac{s^n{e}^{-s}}{(s-x{)}^{n+1}}ds,$ gdzie całkowanie odbywa się po dowolnym konturze zawierającym $x$

• $(n+1)L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_n(x)-n{L}_{n-1}(x)$

• $x\frac{d{L}_n(x)}{dx}=n{L}_n(x)-n{L}_{n-1}(x)$

Zobacz też

• formuła trójczłonowa
• wielomiany Czebyszewa
• wielomiany Hermite’a
• wielomiany Legendre’a

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Laguerre polynomials Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].