Stała Erdősa-Borweina

Stała Erdősa-Borweina – suma szeregu złożonego z odwrotności liczb Mersenne’a. Nazwana tak na cześć matematyków Paula Erdősa i Petera Borweina.

Z definicji

$E_B=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n-1}\approx 1,606695152415291763\dots$

Można pokazać, że następujące określenia są równoważne z powyższą definicją:

$E_B=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n^2}}\frac{2^n+1}{2^n-1}$

$E_B=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{mn}}$

$E_B=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n(2^n-1)}$

$E_B=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_0(n)}{2^n}$

gdzie ${\sigma }_0(n)=d(n)$ jest funkcją, przypisującą liczbie n liczbę jej dodatnich podzielników. Aby dowieść równoważność powyższych sum, wystarczy zauważyć, że można je zapisać w postaci szeregu Lamberta.

W roku 1948 Paul Erdős pokazał, że liczba $E_B$ jest niewymierna.

Zobacz też

• lista stałych matematycznych