Równanie różniczkowe zwyczajne

Równanie różniczkowe zwyczajne – równanie, w którym występuje jedna zmienna niezależna $t$ oraz jedna lub więcej funkcji niewiadomych i ich pochodne. Równania różniczkowe, w których występuje więcej zmiennych niezależnych, nie są zwyczajne, ale cząstkowe.

Wśród równań różniczkowych zwyczajnych równania różniczkowe liniowe odgrywają szczególną rolę – taką postać ma większość równań fizyki i matematyki stosowanej. Ponadto równania nieliniowe są trudniejsze do rozwiązania, dlatego często rozwiązuje się je w sposób przybliżony, za pomocą równań liniowych (por. linearyzacja równań).

Uznaje się, że Lectiones mathematicae de methodo integralium Johanna Bernoulliego były pierwszym podręcznikiem na temat równań różniczkowych zwyczajnychSzablon:Odn.

Oznaczenia

Niech $t$ oznacza zmienną niezależną, $x=x(t)$ zmienną zależną. Stosuje się różne oznaczenia na pochodne zmiennej zależnej $x=x(t)$ względem zmiennej $t$

• $\frac{dx}{dt},\frac{d^{2}x}{d{t}^2},\dots ,\frac{d^{n}x}{d{t}^n}$
• $x^{\prime },x^{″},\dots ,x^{(n)}$
• $\dot{x},\ddot{x},\stackrel{\dots }{x}.$

W praktyce (jak wyżej) zazwyczaj pomija się zapisywanie argumentu przy funkcji $x$ i jej pochodnych, tzn. zamiast $x(t),\dots ,x^{(n)}(t)$ pisze się $x,x^{\prime }\dots ,x^{(n)}.$

Równania różniczkowe zwyczajne

Def. równania różniczkowego zwyczajnego w postaci jawnej Jeżeli $F$ jest funkcją zmiennej $t,$ zmiennej $x$ oraz pochodnych zmiennej $x,$ to równanie postaci

$F(t,x,x^{\prime },\dots ,x^{(n-1)})=x^{(n)}$

nazywa się jawnym równaniem różniczkowym rzędu $n.$

Def. równania różniczkowego zwyczajnego w postaci niejawnej

Niejawnym równaniem różniczkowym rzędu $n$ nazywa się równanie postaci

$F(t,x,x^{\prime },x^{″},\dots ,x^{(n)})=0.$

Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe rzędu n

Definicja

Def. Równanie różniczkowe zwyczajne nazywamy równaniem liniowym rzędu n zmiennej zależnej $x(t)$, gdy funkcję $F$ można zapisać w postaci kombinacji liniowej funkcji $x$ i jej pochodnych:

$\sum _{i=1}^n{a}_i{x}^{(i)}+a_{0}x=b,$

gdzie:

• $x^{(i)}$ – pochodne rzędu $i=0,1,\dots ,n$ zmiennej zależnej $x(t)$ względem zmiennej $t,$
• $a_i\equiv a_i(t),i=0,1,\dots ,n$ oraz $b\equiv b(t)$ – różniczkowalne funkcje zmiennej $t,$ niekoniecznie liniowe.

Innymi słowy: równanie jest liniowe, gdy zmienna zależna i jej pochodne występują tylko w 1-szej potędze i nie ma wyrazów zawierających funkcje zmiennej $x$ czy funkcje jej pochodnych, np. $\sin x(t),\exp (x^3),\ln (x^{″})$ itd.

Przy tym mamy dwa istotne przypadki:

• $b(t)=0$ – wtedy równanie nazywa się jednorodnym,
• $b(t)\ne 0$ – wtedy równanie nazywa się niejednorodnym.

Przykłady

(1) Równanie liniowe niejednorodne rzędu $n=1$

$x^{\prime }-at=v$

np. równanie ruchu ciała ze stałym przyspieszeniem

(2) Równania liniowe jednorodne rzędu $n=2$

(a) $m{x}^{″}+kx=0$

(b) $m{x}^{″}+b{x}^{\prime }+kx=0$

np. równaniami (a) i (b) opisuje się ruch harmoniczny: (a) swobodny (b) z tłumieniem.

Równanie różniczkowe zwyczajne nieliniowe rzędu n

Definicja

Def. Równanie różniczkowe zwyczajne nieliniowe rzędu $n$ jest to równanie różniczkowe liniowe rzędu $n$, które nie jest liniowe.

Przykłady

(1) $x^{″}+\frac{g}{\ell }\sin x(t)=0$

– równanie różniczkowe zwyczajne, nieliniowe; równanie to opisuje drganie oscylatora anharmonicznego (np. wahadła matematycznego); aby równanie to było liniowe, zmienna zależna powinna być w pierwszej potędze, nie w postaci funkcji $\sin x;$ dla małych drgań można dokonać przybliżenia $\sin x=x,$ dzięki czemu równanie upraszcza się do postaci liniowej

(2) $x^{\prime }=3x^2-2t^3+4$

(3) $x^{″}=x^{\prime }+(2+e^t)x+(1+t)x^2$

(4) $(x^{\prime }{)}^2=8t{x}^{\prime }+5t{x}^3-t$

– równania (2)–(4) są nieliniowe, bo zmienna zależna nie jest w pierwszej potędze, ale w drugiej lub trzeciej; dodatkowo w równaniu (4) pochodna $x^{\prime }$ jest w drugiej potędze.

Układ równań różniczkowych zwyczajnych (ODE)

Def. Jeżeli mamy powiązanych ze sobą $m$ równań różniczkowych zwyczajnych, to tworzą one układ (ang. ordinary differential equations – ODE). Niech $𝐱(t)$ oznacza wektor, którego elementami są funkcje

$𝐱(t)=[x_1(t),x_2(t),\dots ,x_m(t)],$

zaś $F$ – funkcja, której wartościami są funkcje wektora $𝐱(t)$ i jego pochodnych, to

${𝐱}^{(n)}=𝐅(t,𝐱,{𝐱}^{\prime },{𝐱}^{″},\dots ,{𝐱}^{(n-1)})$

jest jawną postacią układu równań różniczkowych zwyczajnych wymiaru $m;$ w postaci macierzowej mamy

$\left(\begin{array}{c}{x}_1^{(n)}\\ x_2^{(n)}\\ ⋮\\ x_m^{(n)}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{f}_1(t,𝐱,{𝐱}^{\prime },{𝐱}^{″},\dots ,{𝐱}^{(n-1)})\\ f_2(t,𝐱,{𝐱}^{\prime },{𝐱}^{″},\dots ,{𝐱}^{(n-1)})\\ ⋮\\ f_m(t,𝐱,{𝐱}^{\prime },{𝐱}^{″},\dots ,{𝐱}^{(n-1)})\end{array}\right)$

Funkcje te niekoniecznie są liniowe.

Def. W postaci niejawnej mamy

$𝐅(t,𝐱,{𝐱}^{\prime },{𝐱}^{″},\dots ,{𝐱}^{(n)})=0,$

gdzie $\mathrm{𝟎}=(0,0,\dots ,0)$ – wektor zerowy. W postaci macierzowej mamy

$\left(\begin{array}{c}{f}_1(t,𝐱,{𝐱}^{\prime },{𝐱}^{″},\dots ,{𝐱}^{(n)})\\ f_2(t,𝐱,{𝐱}^{\prime },{𝐱}^{″},\dots ,{𝐱}^{(n)})\\ ⋮\\ f_m(t,𝐱,{𝐱}^{\prime },{𝐱}^{″},\dots ,{𝐱}^{(n)})\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)$

Całkowanie równań różniczkowych. Całki

Proces znajdowania rozwiązań równań różniczkowych nazywa się całkowaniem.

Całką nazywa się jedno równanie $x(t)$ lub zespół równań $x_1(t),x_2(t),\dots ,x_m(t)$ wiążących funkcje niewiadome ze zmienną niezależną $t.$ Po podstawieniu funkcji niewiadomych i ich pochodnych do danego równania różniczkowego jest ono tożsamościowo spełnione.

Uwaga: Nie należy tego pojęcia mylić z pojęciem całki, rozumianej jako pole powierzchni pod krzywą.

Przykłady

Równanie wektorowe drugiej zasady dynamiki

Tor kuli wystrzelonej z armaty jest opisany krzywą będącą rozwiązaniem układu dwóch równań różniczkowych zwyczajnych, zadających współrzędne ciała na płaszczyźnie $𝐱(t)=[x_1(t),x_2(t)].$

Równanie opisujące drugą zasadę dynamiki Newtona w przypadku ruchu ciała o stałej masie

$m$

w przestrzeni 3-wymiarowej w polu wektora siły

$𝐅(t)=[F_1(t),F_2(t),F_3(t)]$

zmiennej w czasie ma postać:

$\frac{d^2𝐱}{d{t}^2}=\frac{𝐅}{m},$

gdzie:

• $𝐱(t)=[x_1(t),x_2(t),x_3(t)]$ – wektor, określający położenia ciała w zależności od czasu $t.$

Jest to więc układ 3 równań różniczkowych liniowych rzędu $n=2$ trzech zmiennych $x_1(t),x_2(t),x_3(t),$ które są współrzędnymi ciała w przestrzeni.

Układ Lorentza

Układ Lorentza – to układ trzech nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych

$\{\begin{array}{c}\dot{x}=\sigma y-\sigma x\\ \dot{y}=-xz+rx-y\\ \dot{z}=xy-bz\end{array},$

gdzie: $\sigma ,$ $r,$ $b$ – stałe parametry; tutaj oznaczono: $x_1\equiv x(t),x_2\equiv y(t),x_3\equiv z(t);$ $t$ ma sens czasu.

Układ ten modeluje zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze; badanie tego układu doprowadziło do odkrycia zjawiska chaosu deterministycznego.

Oprogramowanie do rozwiązywania ODE

Bezpłatne:

• GNU Octave, oprogramowanie przeznaczone do obliczeń numerycznych, odpowiednik środowiska MATLAB.
• GNU R, środowisko obliczeniowe zawiera pakiet do rozwiązywania ODE.
• Julia (język programowania), język wysokiego poziomu, elastyczny, do szeregu obliczeń numerycznych, o rosnącej liczbie użytkowników.
• Maxima, system algebry komputerowej.
• SageMath, środowisko obliczeniowe używa składni podobnej do języka Python, umożliwiająca obliczenia w zakresie wielu gałęzi matematyki.
• Scilab, aplikacje do obliczeń numerycznych.
• Chebfun, pakiet oprogramowania napisany w MATLAB, do obliczeń z dokładnością do 15 cyfr znaczących.
• COPASI, pakiet oprogramowania do całkowania i analizy ODE.
• SciPy, pakiet języka Python, zawierający moduł całkowania ODE.
• SymPy, pakiet języka Python, który może rozwiązywać ODE symbolicznie.

Płatne:

• Mathematica, aplikacja początkowo przeznaczona do obliczeń symbolicznych.
• Maple, aplikacja do obliczeń symbolicznych.
• MATLAB, aplikacje obliczeniowe (skrót od słów MATrix LABoratory).

Zobacz też

• równanie różniczkowe cząstkowe
• algorytm Rungego-Kutty – numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych

Bibliografia

• I.N. Bronsztejn, K.A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny. Matematyka, PWN, Warszawa 2010, s. 509–549 – równania różniczkowe zwyczajne, s. 549–573 – równania różniczkowe cząstkowe.
• R.S. Guter, A.R. Janpolski, Równania różniczkowe, PWN, Warszawa 1980.
• W.I. Smirnow, Matematyka wyższa, tom II, PWN, Warszawa 1966, s. 7–165 – równania różniczkowe zwyczajne oraz s. 464-607 – równania różniczkowe cząstkowe.
• Szablon:Cytuj książkę

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Differential equation, ordinary Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-06-18].