Element macierzowy operatora

Element macierzowy operatora A_αβ definiujemy jako $⟨\alpha |\hat{A}|\beta ⟩.$ Powyższy zapis można interpretować na dwa sposoby:

Iloczyn skalarny wektora $|\alpha ⟩$ i wektora $\hat{A}|\beta ⟩.$ Użyto tutaj stosowanej niekiedy w fizyce notacji Diraca. W notacji matematycznej jest to iloczyn skalarny wektora $\alpha$ i wektora $\hat{A}\beta ,$ gdzie $A$ jest operatorem liniowym działającym w przestrzeni Hilberta z której pochodzą $\alpha ,\beta$

Całkę po wszystkich $n$ parametrach $r_k,$ od których zależą wektory stanu, czyli:

$⟨\alpha |\hat{A}|\beta ⟩=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\alpha (\overline{r})\hat{A}\beta (\overline{r})d^{n}r.$