Obrazy w mechanice kwantowej

Obrazy w mechanice kwantowej. Rozwiązując równanie Schrödingera niezależne od czasu, otrzymuje się wektor stanu $|\psi (0)⟩,$ przedstawiający stan układu kwantowego w pewnej chwili początkowej $t=0.$ Pełny wektor stanu $|\mathrm{\Psi }(t)⟩,$ otrzymuje się, rozwiązując równanie Schrödingera zależne od czasu. Jeżeli hamiltonian $\hat{H}$ układu nie zależy od czasu, to istnieje prosta zależność

$|\psi (t)⟩=e^{-\frac{i}{\hslash }\hat{H}t}|\psi (0)⟩.$

Gdy jednak hamiltonian zależy od czasu, to rozwiązanie równania Schrödingera staje się trudniejsze.

Aby rozwiązać zagadnienie opisu układu mechanicznego nie jest jednak konieczne rozwiązywanie równania Schrödingera z pełnym operatorem Hamiltona. Niekiedy problem można uprościć, przyjmując inny tzw. obraz, czyli założyć, że w równaniu Schrödingera na wektory stanu działa niekoniecznie cały operator Hamiltona – wtedy pozostała jego część działa na obserwable, w tym na operator całkowitej energii układu, czyli pełny Hamiltonian. Wyróżnia się obrazy:

(1) obraz Schrödingera – zakłada pełny operator Hamiltona w równaniu ewolucji stanów kwantowych; jeżeli operator Hamiltona nie zależy od czasu, to jedynie wektory stanu zmieniają się w czasie, zaś obserwable są stałe w czasie,

(2) obraz Heisenberga – jedynie operatory zmieniają się w czasie,

(3) obraz Diraca (obraz oddziaływania) – zarówno wektory stanu, jak i operatory zmieniają się w czasie.

Możliwość przyjęcia różnych obrazów wynika stąd, że wielkościami mierzonymi w eksperymentach nie są ani operatory ani wektory stanu, a jedynie wielkości, które wynikają z połączenia tych dwóch elementów równań kwantowomechanicznych – wartości średnie i prawdopodobieństwa. Stąd wynika możliwość przyjęcia różnych obrazów.

Zależność obserwabli od czasu

(1) Pochodna zupełna po czasie z elementu macierzowego operatora, tj. wielkości $⟨\varphi |\hat{O}|\psi ⟩,$ wyraża się wzorem:

$\frac{d}{dt}⟨\varphi |\hat{O}|\psi ⟩=\frac{d⟨\varphi |}{dt}\hat{O}|\psi ⟩+⟨\varphi |\frac{d\hat{O}}{dt}|\psi ⟩+⟨\varphi |\hat{O}\frac{d|\psi ⟩}{dt}.$

Powyższe równanie dopuszcza pewną dowolność w wyrażeniu na zależność czasową wektorów stanu i obserwabli: jedynie ich suma musi spełniać powyższe równania. Aby znaleźć zależność od czasu tych dwóch elementów, należy więc nałożyć dodatkowy warunek na to równanie. W mechanice kwantowej warunek ten postuluje się jako:

$\frac{d}{dt}⟨\varphi |\hat{O}|\psi ⟩=\frac{i}{\hslash }⟨\varphi |[\hat{H},\hat{O}]|\psi ⟩+⟨\varphi |\frac{\partial \hat{O}}{\partial t}|\psi ⟩.$

Powyższe równanie ma charakter postulatu – nie wynika ono z żadnej teorii w mechanice kwantowej.

(2) Przyjmijmy, że pochodne stanów $|\varphi ⟩$ i $|\psi ⟩$ opisywane są przez następujące równania:

$\frac{d}{dt}|\psi ⟩=-\frac{i}{\hslash }\hat{A}|\psi ⟩,$

$\frac{d}{dt}|\varphi ⟩=-\frac{i}{\hslash }\hat{A}|\varphi ⟩,$

gdzie $\hat{A}$ jest pewnym ustalonym operatorem hermitowskim. Stąd pochodne wektorów dualnych wyrażają się wzorami:

$\frac{d}{dt}⟨\psi |=\frac{i}{\hslash }⟨\psi |\hat{A},$

$\frac{d}{dt}⟨\varphi |=\frac{i}{\hslash }⟨\varphi |\hat{A}.$

(3) Wstawiając otrzymane pochodne do pierwszego wzoru, otrzyma się:

$\frac{d}{dt}⟨\varphi |\hat{O}|\psi ⟩=\frac{i}{\hslash }⟨\varphi |\hat{A}\hat{O}|\psi ⟩+⟨\varphi |\frac{d\hat{O}}{dt}|\psi ⟩-\frac{i}{\hslash }⟨\varphi |\hat{O}\hat{A}|\psi ⟩.$

Porównując powyższy wzór z postulowaną postacią pochodnej elementu macierzowego, otrzymuje się:

$⟨\varphi |(\frac{i}{\hslash }[\hat{A},\hat{O}]-\frac{i}{\hslash }[\hat{H},\hat{O}]+\frac{d\hat{O}}{dt}-\frac{\partial \hat{O}}{\partial t})|\psi ⟩=0.$

Ponieważ wszystkie elementy macierzowe powyższego operatora zerują się, więc całkowity operator zeruje się. Stąd mamy:

$\frac{d\hat{O}}{dt}=\frac{i}{\hslash }[\hat{H}-\hat{A},\hat{O}]+\frac{\partial \hat{O}}{\partial t}.$

Równanie powyższe opisuje zależność obserwabli od czasu. Ustalając konkretną postać operatora $\hat{A},$ otrzymuje się różne obrazy mechaniki kwantowej.

Obraz Schrödingera

W obrazie Schrödingera przyjmuje się $\hat{A}=\hat{H}.$ Wynika stąd, że:

(a) stany kwantowe są rozwiązaniami równania Schrödingera (bo operator $\hat{A}$ jest pełnym operatorem Hamiltona)

$\frac{d}{dt}|\psi ⟩=-\frac{i}{\hslash }\hat{H}|\psi ⟩,$

(b) obserwable są zależne od czasu wg równania:

$\frac{d\hat{O}}{dt}=\frac{\partial \hat{O}}{\partial t}.$

Dana obserwabla nie zależy więc od czasu, jeżeli nie zależy jawnie od czasu.

(c) Wartość średnia obserwabli może zmieniać się w czasie, ponieważ wektory stanu zależą tu od czasu:

$\frac{d}{dt}⟨\varphi |\hat{O}|\psi ⟩=\frac{i}{\hslash }⟨\varphi |[\hat{H},\hat{O}]|\psi ⟩+⟨\varphi \left|\frac{\partial \hat{O}}{\partial t}\right|\psi ⟩.$

Jeżeli jednak obserwabla nie zależy jawnie od czasu i komutuje z operatorem Hamiltona, to jej wartość średnia jest stała w czasie.

Obraz Heisenberga

W obrazie Heisenberga przyjmuje się $\hat{A}=0.$ Wynika stąd, że:

(a) stany kwantowe nie zależą od czasu, gdyż są opisywane przez równanie:

$\frac{d}{dt}|\psi ⟩=0,$

(b) obserwable ewoluują w czasie zgodnie z równaniem:

$\frac{d\hat{O}}{dt}=\frac{i}{\hslash }[\hat{H},\hat{O}]+\frac{\partial \hat{O}}{\partial t}.$

Obraz Diraca (obraz oddziaływania)

W obrazie oddziaływania zarówno operatory, jak i stany kwantowe zależą od czasu, jednak ich ewolucje są opisywane przez różne hamiltoniany. Jest to związane z tym, że hamiltonian dla układu jest postaci:

$\hat{H}(t)={\hat{H}}_0+{\hat{H}}_{int}(t).$

gdzie ${\hat{H}}_{int}(t)$ jest częścią operatora Hamiltona; zależnie od wyboru i opisywanej sytuacji fizycznej część ta może być związana z:

• oddziaływaniem między elementami układu (np. dla dwóch elektronów będzie to energia ich wzajemnego oddziaływania elektrycznego) lub też pochodzić z oddziaływania elektronu z zewnętrznym polem elektromagnetyczne; wtedy ${\hat{H}}_0$ będzie tzw. hamiltonianem swobodnym, związanym z elektronami nie oddziałującymi ze sobą,
• może odpowiadać za oddziaływanie elektronu z zewnętrznym polem elektromagnetyczne (wtedy często nazywa się tę część hamiltonianu zaburzeniem); wtedy ${\hat{H}}_0$ będzie tzw. hamiltonianem swobodnym, związanym z elektronem nie oddziałującymi z zewnętrznym polem.

(a) Stany kwantowe są opisywane tu przez równanie zawierające hamiltonian swobodny:

$\frac{d}{dt}|\psi ⟩=-\frac{i}{\hslash }\widehat{H_0}|\psi ⟩.$

(b) Obserwable ewoluują zgodnie z równaniem

$\frac{d\hat{O}}{dt}=\frac{i}{\hslash }[{\hat{H}}_{int},\hat{O}]+\frac{\partial \hat{O}}{\partial t}.$

zależnym od hamiltonianu oddziaływania.

Bibliografia

• Bronisław Średniawa, Mechanika kwantowa, PWN, Warszawa 1978, s. 154–159.
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 1, Wiley J., 2006, Szablon:ISBN, s. 312–314.