Metoda Simpsona

Funkcja $f(x)$ (niebieska) jest przybliżana funkcją kwadratową $P(x)$ (czerwona) gdzie:
$f(a)=f(x_0)=y_0,$ $f(m)=f(x_1)=y_1,$
$f(b)=f(x_2)=y_2.$

Całkowanie metodą Simpsona – jedna z metod przybliżania wartości całki oznaczonej funkcji rzeczywistej.

Metoda ma zastosowanie do funkcji stablicowanych w nieparzystej liczbie równo odległych punktów (wliczając końce przedziału całkowania). Metoda opiera się na przybliżaniu funkcji całkowanej przez interpolację wielomianem drugiego stopnia.

Znając wartości $y_0,y_1,y_2$ funkcji $f(x)$ w 3 punktach $x_0,x_1,x_2$ (przy czym $x_2-x_1=x_1-x_0=h$), przybliża się funkcję wielomianem Lagrange’a i całkując w przedziale $[x_0,x_2],$ otrzymuje przybliżoną wartość całki:

$\underset{x_0}{\overset{x_2}{\int }}f(x)dx\approx \frac{h}{3}(y_0+4y_1+y_2).$

Błąd, który przy tym popełniamy, jest równy: $R=\frac{1}{90}{h}^5|f^{(4)}(c)|,$

gdzie:

$c\in [x_0;x_2].$

Nie znamy położenia punktu $c,$ więc posługujemy się poniższym szacowaniem, mającym zastosowanie w obliczeniach numerycznych:

$R⩽\frac{1}{90}{h}^5\underset{x\in [x_0;x_2]}{\max }|f^{(4)}(x)|.$

Znając wartości funkcji w $2k+1$ kolejnych, równo odległych punktach $x_0,x_1,\dots x_n$ (gdzie $n=2k$), możemy iterować powyższy wzór na $k$ przedziałów:

$\underset{x_{2i-2}}{\overset{x_{2i}}{\int }}f(x)dx\approx \frac{h}{3}(y_{2i-2}+4y_{2i-1}+y_{2i}),i=1,2,\dots k,k=\frac{n}{2},$

otrzymując:

$\underset{x_0}{\overset{x_n}{\int }}f(x)dx=\sum _{i=1}^k\underset{x_{2i-2}}{\overset{x_{2i}}{\int }}f(x)dx\approx \frac{h}{3}(y_0+4\sum _{i=1}^k{y}_{2i-1}+2\sum _{i=1}^{k-1}{y}_{2i}+y_n).$

Wartość błędu, jakim są obarczone wyliczenia, wyraża się wzorem:

$R⩽\frac{1}{180}(x_n-x_0)h^4\underset{x\in [x_0;x_n]}{\max }|f^{(4)}(x)|.$

By czytelnik mógł go odnieść do rysunku:

$x_n=b;$ $f(x_n)=y_n,$

$x_0=a;$ $f(x_0)=y_0.$

Geometrycznie metoda ta odpowiada zastąpieniu w każdym z kolejnych $k$ przedziałów zmiennej $x$ łuku wykresu funkcji $y>=f(x)$ łukiem paraboli przeprowadzonej przez trzy kolejne węzły interpolacji (punkty wykresu o znanych współrzędnych) odpowiadające początkowi, środkowi i końcowi kolejnego przedziału.

Zobacz też

• metody Newtona-Cotesa