Równanie różniczkowe Bernoulliego

Równanie różniczkowe Bernoulliego – równanie różniczkowe postaci:

$\frac{dy}{dx}+p(x)y+q(x)y^n=0,$

gdzie $p(x),q(x)\in C(a,b).$ Dla $n\in 0,1,$ równanie Bernoulliego upraszcza się do równania liniowego.

Rozwiązanie równania

Aby rozwiązać równanie Bernoulliego należy podzielić obie strony równania przez $y^n,$ otrzymujemy wtedy:

$\frac{1}{y^n}\frac{dy}{dx}+p(x)y^{1-n}+q(x)=0(*).$

Następnie wprowadzamy pomocniczą zmienną zależną $z=y^{1-n}.$ Wówczas $z^{\prime }=(1-n)y^{-n}{y}^{\prime }.$ Wstawiając tę zmienną i jej pochodną do powyższego równania otrzymujemy:

$\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+p(x)z+q(x)=0,$

które jest równaniem liniowym niejednorodnym.

Przykład

Rozwiążmy następujące równanie różniczkowe:

$y^{\prime }+\frac{x}{1-x^2}y-x^2{y}^{\frac{1}{2}}=0.$

Podzielmy obie strony równania przez $y^{\frac{1}{2}},$ otrzymamy:

$\frac{y^{\prime }}{y^{\frac{1}{2}}}+\frac{x}{1-x^2}{y}^{\frac{1}{2}}-x^2=0.$

Wprowadźmy zmienną $z=y^{1-\frac{1}{2}}=y^{\frac{1}{2}},$ zatem $z^{\prime }=\frac{1}{2y^{\frac{1}{2}}}{y}^{\prime }.$ Po wstawieniu nowej zmiennej do powyższego równania jest:

$2z^{\prime }+\frac{x}{1-x^2}z-x^2=0.$

Równanie to jest równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym i jako takie należy je rozwiązać.

Zobacz też

• równanie różniczkowe zwyczajne