Współczynnik korelacji Pearsona

Błąd przy generowaniu miniatury:

Przykładowe wykresy danych (x, y) i odpowiadające im wartości współczynnika korelacji liniowej Pearsona

Współczynnik korelacji liniowej Pearsona – współczynnik określający poziom zależności liniowej między zmiennymi losowymi. Został opracowany przez Karla Pearsona.

Wzory matematyczne

Niech $x$ i $y$ będą zmiennymi losowymi o dyskretnych rozkładach. $x_i,y_i$ oznaczają wartości prób losowych tych zmiennych $(i=1,2,\dots ,n),$ natomiast $\bar{x},\bar{y}$ – wartości średnie z tych prób, tj.

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{x}_i,\bar{y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i.$

Wówczas estymator współczynnika korelacji liniowej definiuje się następująco:

$r_{xy}=\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}\sqrt{\sum _{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}},$

$r_{xy}\in [-1,1].$

Ogólnie współczynnik korelacji liniowej dwóch zmiennych jest ilorazem kowariancji i iloczynu odchyleń standardowych tych zmiennych:

$r_{XY}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}.$

W szczególności dla zmiennych losowych o dyskretnych rozkładach ma on postać

$r_{XY}=\frac{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(X,Y)}{{\sigma }_X{\sigma }_Y}=\frac{(\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}P(X=x_i,Y=y_j)x_i{y}_j)-\bar{X}\bar{Y}}{\sqrt{(\sum _{i=1}^{n}P(X=x_i)x_i^2)-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{X}}}\sqrt{(\sum _{i=1}^{m}P(Y=y_i)y_i^2)-\stackrel{2}{\stackrel{‾}{Y}}}}.$

Wartość współczynnika korelacji mieści się w przedziale domkniętym [−1, 1]. Im większa jego wartość bezwzględna, tym silniejsza jest zależność liniowa między zmiennymi. $r_{xy}=0$ oznacza brak liniowej zależności między cechami, $r_{xy}=1$ oznacza dokładną dodatnią liniową zależność między cechami, natomiast $r_{xy}=-1$ oznacza dokładną ujemną liniową zależność między cechami, tzn. jeżeli zmienna $x$ rośnie, to $y$ maleje i na odwrót.

Współczynnik korelacji liniowej można traktować jako znormalizowaną kowariancję. Korelacja przyjmuje zawsze wartości w zakresie [−1, 1], co pozwala uniezależnić analizę od dziedziny badanych zmiennych.

Poziomy korelacji i ich interpretacja

Korelacje	Ujemne	Dodatnie
Słabe	−0,5 do 0,0	0,0 do 0,5
Silne	−1,0 do −0,5	0,5 do 1,0

Korelacje można interpretować jako silne, słabe, ujemne. Interpretacja taka jest jednak arbitralna i nie możemy jej traktować zbyt ściśle. Na przykład współczynnik równy 0,9 dla socjologów i ekonomistów oznacza silną korelację, a dla fizyków posługujących się wysokiej klasy pomiarami przy badaniu praw przyrody oznacza korelację słabą. Z drugiej strony poziom korelacji ma wpływ na czas życia korelacji.

Ograniczenia stosowalności

• podatny na obserwacje skrajne.
• interpretacja jest oczywista tylko dla wielowymiarowego rozkładu normalnego (jest wtedy estymatorem elementu macierzy współczynników tego rozkładu).

Zobacz też

• korelacja
• współczynnik fi
• współczynnik korelacji
• współczynnik korelacji punktowo-dwuseryjnej
• macierz korelacji
• współczynnik korelacji rang
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki