Liczby Fermata

Szablon:Dopracować Liczba Fermata – liczba naturalna postaci $F_n=2^{2^n}+1,$ gdzie $n$ jest nieujemną liczbą całkowitą. Nazwano je tak dla upamiętnienia francuskiego matematyka Fermata, który pierwszy badał ich własności.

Faktoryzacje liczb Fermata

Oto kilka początkowych liczb Fermata:

$F_0=2^1+1=3$

$F_1=2^2+1=5$

$F_2=2^4+1=17$

$F_3=2^8+1=257$

$F_4=2^{16}+1=65537$

$F_5=2^{32}+1=4294967297=641\cdot 6700417$

$F_6=2^{64}+1=18446744073709551617=274177\cdot 67280421310721$

$F_7=2^{128}+1=340282366920938463463374607431768211457=59649589127497217\cdot 5704689200685129054721$

Liczby Fermata a pierwszość

Początkowe liczby Fermata $F_0,\dots ,F_4$ są liczbami pierwszymi. Fermat wyraził przypuszczenie, że wszystkie liczby postaci $2^{2^n}+1$ są pierwsze, jednak Euler w roku 1732 pokazał, że $F_5=4294967297=641\cdot 6700417,$ czyli $F_5$ jest liczbą złożoną.

Do chwili obecnej jedynymi znanymi liczbami pierwszymi Fermata są właśnie $F_0,F_1,F_2,F_3,F_4$ i nie wiadomo, czy jest ich więcej.

Zauważmy, że jeżeli liczba $2^n+1$ jest liczbą pierwszą, to $n$ musi być potęgą 2, wobec tego każda liczba pierwsza tej postaci jest liczbą pierwszą Fermata.

Metoda T. Pépina sprawdzania pierwszości

W roku 1877 francuski matematyk Theophile Pépin określił metodę sprawdzania, czy konkretna liczba Fermata jest liczbą pierwszą.

Dla $n>1,$ jeśli $m=(F_n-1)/2,$ to $F_n$ jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli $3^m+1.$

Przykład

• liczba $F_2=17,$
• zatem $m=8,$
• więc $3^8+1=6562,$
• $6562/17=386$
• dzieli się zatem bez reszty, co świadczy o pierwszości liczby $F_2.$

Wzory rekurencyjne

Liczby Fermata spełniają następujące zależności rekurencyjne:

• $F_n=(F_{n-1}-1{)}^2+1,$
• $F_n=F_{n-1}+2^{2^{n-1}}{F}_0\cdots F_{n-2},$
• $F_n=F_{n-1}^2-2(F_{n-2}-1{)}^2,$
• $F_n=F_0\cdots F_{n-1}+2$

dla $n⩾2.$

Najprostszy dowód tych własności polega na zastosowaniu indukcji matematycznej. Z ostatniej z nich wynika twierdzenie Goldbacha:

wszystkie liczby Fermata są względnie pierwsze

Jako natychmiastowy wniosek otrzymuje się stąd dowód faktu, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele – każda liczba Fermata jest albo pierwsza, albo ma dzielnik pierwszy, który nie dzieli żadnej z pozostałych liczb Fermata.

Własności

Kilka dalszych własności liczb Fermata:

• Jeżeli $n⩾2,$ to $F_n\equiv 17\text{ albo }41(\mathrm{mod}72)$ (zobacz: kongruencja)
• Jeśli $n⩾2,$ to $F_n\equiv 17,37,57,\text{ albo }97(\mathrm{mod}100).$
• Liczba $D(n,b)$ cyfr liczby $F_n$ w pozycyjnym systemie liczbowym o podstawie $b$ jest równa $D(n,b)=\lfloor {\log }_b(2^{2^n}+1)+1\rfloor \approx \lfloor 2^n{\log }_{b}2+1\rfloor$ (zobacz: funkcja podłoga)
• Żadna liczba Fermata oprócz $F_1=5$ nie daje się przedstawić jako suma dwóch liczb pierwszych.
• Żadna liczba pierwsza Fermata nie daje się przedstawić jako różnica dwóch $p$-tych potęg, gdzie $p$ jest liczbą pierwszą większą od 2.

Więcej o liczbach pierwszych Fermata

Dowodząc, że $F_5$ jest liczbą złożoną, Euler zauważył, że każdy dzielnik liczby $F_n$ musi mieć postać $k{2}^{n+1}+1.$ Dla $n=5$ oznacza to, że jedynie liczby postaci $64k+1$ mogą dzielić $F_n;$ dla biegłych w arytmetyce matematyków XVIII wieku sprawdzenie, czy któraś z początkowych liczb tej postaci dzieli $F_5,$ nie było żadnym problemem.

Poniższe problemy dotyczące liczb pierwszych Fermata nadal pozostają otwarte:

• Czy $F_n$ jest liczbą złożoną dla $n>4$?
• Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Fermata?
• Czy istnieje nieskończenie wiele złożonych liczb Fermata?

W chwili obecnej (2004) wiadomo, że dla $5⩽n⩽32$ wszystkie liczby $F_n$ są złożone, jednak ich rozkłady na czynniki pierwsze znane są jedynie dla $n⩽11.$ Największą znaną złożoną liczbą Fermata jest $F_{2478782},$ a jednym z jej czynników pierwszych jest $3\cdot 2^{2478785}+1.$

27 sierpnia 2000 roku nestor Sergio de Aranjo Melo stwierdził, że dla $n=35563$ liczba Fermata ma dzielnik: $357\cdot 2^{35567}+1.$

Poniżej kilka warunków dotyczących równoważnych temu, by dana liczba Fermata była pierwsza.

• Twierdzenie Protha: Niech $N=k{2}^m+1,$ gdzie $k$ jest nieparzyste i mniejsze od $2^m.$ Jeżeli istnieje liczba całkowita $a$ taka, że:

$a^{(N-1)/2}\equiv -1(\mathrm{mod}N)$

to $N$ jest liczbą pierwsza. Na odwrót, jeśli powyższa kongruencja nie zachodzi oraz

$\left(\frac{a}{N}\right)=-1$ (zobacz: symbol Jacobiego),

to $N$ jest liczbą złożoną. Jeżeli $N=F_n>3,$ to powyższy symbol Jakobiego jest zawsze równy $-1.$

• Niech $n⩾3-n$ jest liczbą pierwszą Fermata wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $a$ względnie pierwszej z $n,$ $a$ jest pierwiastkiem pierwotnym $modn$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a$ jest nieresztą kwadratową $modn.$
• Liczba Fermata $F_n>3$ jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy można ją przedstawić tylko jednym sposobem jako sumę kwadratów dwóch liczb naturalnych:

$F_n={\left(2^{2^{n-1}}\right)}^2+1^2.$

Stąd nowy dowód, że $F_5$ nie jest pierwsza, bowiem $F_5=62264^2+20449^2.$ Podobnie $F_6=4046803256^2+1438793759^2$ i $F_7=16382350221535464479^2+8479443857936402504^2.$

Liczby pierwsze Fermata w geometrii

Twierdzenie Gaussa-Wantzela mówi, że $n$-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy $n$ jest liczbą postaci $2^k{p}_1{p}_2\dots p_s,$ gdzie $p_1,p_2,\dots p_s$ są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Tak więc, konstruowalny jest pięciokąt foremny $(k=0,s=1,p_1=F_1)$ i sześciokąt foremny $(k=1,s=1,p_1=F_0),$ ale już nie siedmiokąt foremny.

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Liczby Fermata, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 10 października 2017 [dostęp 2024-09-04].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2022-07-02].
• Szablon:Otwarty dostęp Fermat prime Szablon:Lang, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-05-12].