Funkcje cyklometryczne

Funkcje: $y=\sin (x),$
$y=\arcsin (x)$

Funkcje:$y=\cos (x),$
$y=\arccos (x)$

Funkcje:$y=\mathrm{tg}(x),$
$y=\mathrm{arctg}(x)$

Funkcje:$y=\mathrm{ctg}(x),$
$y=\mathrm{arcctg}(x)$

Funkcje cyklometryczne, funkcje kołowe, arkfunkcje – funkcje odwrotne do funkcji trygonometrycznych ograniczonych do pewnych przedziałów.

Funkcje trygonometryczne rozpatrywane na tych przedziałach są różnowartościowe i mają funkcje odwrotne. Tak więc:

• arcus sinus (arcsin) jest funkcją odwrotną do funkcji sinus rozpatrywanej na przedziale $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}].$ W przedziale tym sinus jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale $[-1;1]$ (czyli obrazie przedziału $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ przez funkcję $\sin$).
• arcus cosinus (arccos) jest funkcją odwrotną do funkcji cosinus rozpatrywanej na przedziale $[0,\pi ].$ W przedziale tym cosinus jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale $[-1;1]$ (czyli obrazie przedziału $[0,\pi ]$ przez funkcję $\cos$).
• arcus tangens (arctg) jest funkcją odwrotną do funkcji tangens rozpatrywanej na przedziale $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}).$ W przedziale tym tangens jest funkcją rosnącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze $ℝ$ (czyli obrazie przedziału $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ przez funkcję $\mathrm{tg}$).
• arcus cotangens (arcctg) jest funkcją odwrotną do funkcji cotangens rozpatrywanej na przedziale $(0,\pi ).$ W przedziale tym cotangens jest funkcją malejącą (zatem różnowartościową), wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona w zbiorze $ℝ$ (czyli obrazie przedziału $(0,\pi )$ przez funkcję $\mathrm{ctg}$).
• arcus secans (arcsec) jest funkcją odwrotną do funkcji secans rozpatrywanej na przedziale $[0,\pi ].$ W przedziale tym secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): $[0,\frac{\pi }{2}),$ $(\frac{\pi }{2},\pi ],$ wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale $(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty })$ (czyli obrazie przedziału $[0,\pi ]$ przez funkcję $\sec$).
• arcus cosecans (arccsc) jest funkcją odwrotną do funkcji cosecans rozpatrywanej na przedziale $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}].$ W przedziale tym cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów (zatem różnowartościową): $[-\frac{\pi }{2},0),$ $(0,\frac{\pi }{2}],$ wobec czego ma funkcję odwrotną, która jest określona na przedziale $(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty })$ (czyli obrazie przedziału $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ przez funkcję $\mathrm{cosec}$).

Zgodnie z określeniem funkcji odwrotnej:

• $\arcsin x=y$ gdy $\sin y=x$
• $\arccos x=y$ gdy $\cos y=x$
• $\mathrm{arctg}x=y$ gdy $\mathrm{tg}y=x$
• $\mathrm{arcctg}x=y$ gdy $\mathrm{ctg}y=x$
• $\mathrm{arcsec}x=y$ gdy $\sec y=x$
• $\mathrm{arccosec}x=y$ gdy $\mathrm{cosec}y=x$

Jak w przypadku funkcji trygonometrycznych nawiasów wokół argumentów możemy nie stawiać, chyba że prowadziłoby to do niejednoznaczności.

Własności funkcji wynikają natychmiast z twierdzeń o funkcjach odwrotnych. Wszystkie z nich są ciągłe i różniczkowalne.

• arcus sinus jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest $[-1,1],$ a przeciwdziedziną $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}].$
• arcus cosinus jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest $[-1,1],$ a przeciwdziedziną $[0,\pi ].$
• arcus tangens jest funkcją rosnącą. Jej dziedziną jest $ℝ,$ a przeciwdziedziną $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}).$
• arcus cotangens jest funkcją malejącą. Jej dziedziną jest $ℝ,$ a przeciwdziedziną $(0,\pi ).$
• arcus secans jest funkcją rosnącą w każdym z przedziałów: $(-\mathrm{\infty },-1],$ $[1,+\mathrm{\infty }).$ Jej dziedziną jest $(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty }),$ a przeciwdziedziną $[0,\pi ]\setminus \{\frac{\pi }{2}\}.$
• arcus cosecans jest funkcją malejącą w każdym z przedziałów: $(-\mathrm{\infty },-1],$ $[1,+\mathrm{\infty }).$ Jej dziedziną jest $(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty }),$ a przeciwdziedziną $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]\setminus \{0\}.$

Zależności między funkcjami cyklometrycznymi

$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}\text{dla }x\in [-1;1]$

$\mathrm{arctg}x+\mathrm{arcctg}x=\frac{\pi }{2}\text{dla }x\in ℝ$

$\mathrm{arcsec}x+\mathrm{arccosec}x=\frac{\pi }{2}$

Argumenty ujemne

$\arcsin (-x)=-\arcsin x$

$\arccos (-x)=\pi -\arccos x$

$\mathrm{arctg}(-x)=-\mathrm{arctg}x$

$\mathrm{arcctg}(-x)=\pi -\mathrm{arcctg}x$

$\mathrm{arcsec}(-x)=\pi -\mathrm{arcsec}x$

$\mathrm{arccosec}(-x)=-\mathrm{arccosec}x$

Odwrotności argumentów

$\arcsin \frac{1}{x}=\mathrm{arccosec}x$

$\arccos \frac{1}{x}=\mathrm{arcsec}x$

$\mathrm{arctg}\frac{1}{x}=\mathrm{arcctg}x;x>0$

$\mathrm{arctg}\frac{1}{x}=\mathrm{arcctg}x-\pi ;x<0$

$\mathrm{arcctg}\frac{1}{x}=\mathrm{arctg}x;x>0$

$\mathrm{arcctg}\frac{1}{x}=\mathrm{arctg}x+\pi ;x<0$

$\mathrm{arcsec}\frac{1}{x}=\arccos x$

$\mathrm{arccosec}\frac{1}{x}=\arcsin x$

Pochodne i całki

Pochodne

• ${\arcsin }^{\prime }x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• ${\arccos }^{\prime }x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
• ${\mathrm{arctg}}^{\prime }x=\frac{1}{x^2+1}$
• ${\mathrm{arcctg}}^{\prime }x=\frac{-1}{x^2+1}$

Całki

• $\int \arcsin xdx=\sqrt{1-x^2}+x\arcsin x+C$
• $\int \arccos xdx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C$
• $\int \mathrm{arctg}xdx=x\mathrm{arctg}x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$
• $\int \mathrm{arcctg}xdx=x\mathrm{arcctg}x+\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$

Przykłady

• $\arcsin 0=0$
• $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$
• $\arcsin 1=\frac{\pi }{2}$
• $\arccos 0=\frac{\pi }{2}$
• $\arccos \frac{1}{2}=\frac{\pi }{3}$
• $\arccos (-1)=\pi$
• $\mathrm{arctg}0=0$
• $\mathrm{arctg}1=\frac{\pi }{4}$
• $\mathrm{arcctg}0=\frac{\pi }{2}$
• $\mathrm{arcctg}1=\frac{\pi }{4}$

Oto wykresy kolejnych funkcji trygonometrycznych i cyklometrycznych, które parami są symetryczne względem prostej $y=x:$

Linki zewnętrzne

• Szablon:Otwarty dostęp Paweł Lubowiecki, Funkcje trygonometryczne cz. V Funkcje cyklometryczne, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-07].
• Szablon:MathWorld [dostęp 2024-03-07].