Tekst źródłowy strony Zgodność relacji z działaniem

'''Zgodność relacji z działaniem''' – pojęcie [[Algebra abstrakcyjna|algebry abstrakcyjnej]]; własność pewnych [[Relacja (matematyka)|relacji]], zwłaszcza [[Relacja dwuargumentowa|dwuczłonowych]], określonych na [[Algebra ogólna|strukturach algebraicznych]]. Mówi się, że relacja <math>R</math> na zbiorze <math>X</math> jest zgodna z [[Działanie algebraiczne|działaniem]] <math>*</math> na tym zbiorze <math>(*:X\times X\to X),</math> jeśli zachodzi [[Implikacja materialna|implikacja]]{{odn|Opial|1972|s=39–40}}{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=11}}:
: <math>\forall x, y, x', y'\in X: xRy \land x'Ry' \Rightarrow (x*x')R(y*y').</math>

Innymi słowy dowolne dwa zdania wyrażające tę relację można ze sobą łączyć przez wykonywanie działania stronami. Definiuje się też zgodność relacji z działaniami zewnętrznymi{{odn|Opial|1972|s=41}} oraz z działaniami o większej liczbie argumentów{{odn|Guzicki|Zakrzewski|2012}}.

== Przykłady ==
Standardowy [[Porządek liniowy|porządek]] [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] jest zgodny z [[dodawanie]]m tych liczb{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=11}}:
: <math>\forall x, y, x', y'\in \mathbb{R}: (x<y \land x'<y') \Rightarrow (x+x'<y+y').</math>

Porządek ten nie jest jednak zgodny z takimi działaniami na tym zbiorze jak:
* [[odejmowanie]]: <math>0<1</math> i <math>0<1,</math> ale <math>0-0 \nless 1-1;</math>
* [[mnożenie]]{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=11}}: <math>1<2</math> i <math>-2<-1,</math> ale <math>1(-2) \nless 2(-1).</math>

Relacja [[Podzbiór|podzbioru]] jest zgodna z działaniami [[Suma zbiorów|sumy]] zbiorów i ich [[Część wspólna|przekroju]]{{fakt|data=2023-08}}:
: <math>(A_1 \subseteq B_1 \land A_2 \subseteq B_2) \Rightarrow (A_1 \cup A_2 \subseteq B_1 \cup B_2);</math>
: <math>(A_1 \subseteq B_1 \land A_2 \subseteq B_2) \Rightarrow (A_1 \cap A_2 \subseteq B_1 \cap B_2).</math>

== Rola ==
Zgodność [[Częściowy porządek|skierowania]] z działaniami pojawia się w definicjach [[Grupa uporządkowana|grupy uporządkowanej]] oraz [[Ciało uporządkowane|ciała uporządkowanego]]. Dowodzi się też, że [[Kongruencja (algebra)|przystawanie]] elementów [[Grupa (matematyka)|grupy]] względem [[Podgrupa|podgrupy]] jest zgodne z działaniem tej struktury [[Równoważność|wtedy i tylko wtedy]], gdy ta podgrupa jest [[Podgrupa normalna|normalna]]{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=12}}; jest to jedna z równoważnych definicji podgrupy normalnej:
: <math>H<G,</math>
: <math>a \equiv_H b :\Leftrightarrow ab^{-1}\in H,</math>
: <math>(\forall a,b,c,d\in G: a \equiv_H b \land c \equiv_H d \Rightarrow ac \equiv_H bd) \Leftrightarrow H \trianglelefteq G.</math>

Dowodzi się też, że jeśli jakaś [[relacja równoważności]] jest zgodna z działaniem grupy, to istnieje podgrupa definiująca tę relację w powyższy sposób{{odn|Ptak|Gryszka|Hejmej|2019|s=12}}.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Guzicki |imię = Wojciech |nazwisko2 = Zakrzewski |imię2 = Piotr |autor link2 = Piotr Zakrzewski (matematyk) |tytuł = Wykłady ze wstępu do matematyki |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |rok = 2012 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Opial |imię = Zdzisław |autor link = Zdzisław Opial |tytuł = Algebra wyższa |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1972 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Ptak |imię = Marek |nazwisko2 = Gryszka |imię2 = Karol |nazwisko3 = Hejmej |imię3 = Beata |tytuł = Algebra liniowa. Notatki do wykładu |wydawca = Wydawnictwo Szkolne Omega |miejsce = Kraków |rok = 2019 |isbn = 978-83-7267-734-1 |odn = tak}}

{{Relacje matematyczne}}
{{Działania dwuargumentowe}}
{{Teoria grup}}

[[Kategoria:Relacje dwuczłonowe]]
[[Kategoria:Algebra abstrakcyjna]]