Tekst źródłowy strony Zdarzenia losowe rozłączne

{{spis treści}}
'''Zdarzenia losowe rozłączne''' (albo '''wykluczające się''') to para [[zdarzenie losowe (teoria prawdopodobieństwa)|zdarzeń losowych]] <math>A, B,</math> których [[iloczyn zdarzeń|część wspólna]] jest [[zdarzenie losowe niemożliwe|zdarzeniem niemożliwym]]:
: <math>A\cap B=\emptyset.</math>

== Przykład ==
Jeżeli [[Przestrzeń zdarzeń elementarnych|przestrzenią zdarzeń elementarnych]] jest zbiór wszystkich wyników rzutu kostką <math>\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}</math> to zdarzenia:
: A – wypadła parzysta liczba oczek,
: B – wypadła nieparzysta liczba oczek

są rozłączne.

== Uogólnienie ==
W przypadku większej liczby zdarzeń mówimy o zdarzeniach „parami rozłącznych” lub „parami wykluczających się”.

Niech <math>(A_i)</math> będzie [[rodzina zbiorów|rodziną zdarzeń]] w pewnej przestrzeni <math>\Omega.</math> Zdarzenia tej rodziny są '''parami rozłączne''' jeżeli dowolne dwa różne zdarzenia <math>A_i</math> i <math>A_j</math> są rozłączne:
: <math>i\ne j\Rightarrow A_i\cap A_j=\emptyset.</math>

Jeśli rodzina <math>(A_i)</math> spełnia dodatkowo warunek:
: <math>\bigcup A_i=\Omega</math>

nazywa się ją '''[[Rozbicie zbioru|podziałem]] przestrzeni zdarzeń elementarnych'''. Przykładowym podziałem przestrzeni zdarzeń elementarnych jest rodzina <math>\{A,A'\}</math> dla dowolnego zdarzenia losowego <math>A.</math>

== Własności ==
Niech <math>(\Omega, \mathcal{F}, P)</math> będzie [[Przestrzeń probabilistyczna|przestrzenią probabilistyczną]].
Dla dwóch zdarzeń rozłącznych zachodzi wzór:
: <math>P(A\cup B)=P(A)+P(B).</math>

Jeżeli rodzina zdarzeń <math>(A_i)</math> jest przeliczalna oraz zdarzenia z tej rodziny są parami rozłączne, to prawdziwy jest wzór:
: <math>P\left( \bigcup A_i\right) =\sum P(A_i).</math>

== Zobacz też ==
* [[zdarzenia losowe niezależne]]

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko=Krysicki |imię=W. |nazwisko2=Bartos |imię2=J. |nazwisko3=Dyczka |imię3=W. |nazwisko4=Królikowska |imię4=K. |nazwisko5=Wasilewski |imię5=M. |tytuł=Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach |tom=1. Rachunek prawdopodobieństwa |strony=8–9 |wydawca=Wydawnictwo Naukowe PWN |rok=2007 |miejsce=Warszawa |isbn=978-83-01-14291-9}}

[[Kategoria:Zdarzenia losowe|Rozłączne]]