Tekst źródłowy strony Zbiory B-wolne

'''Zbiory <math>\mathcal{B}-</math>wolne''' (lub '''zbiory liczb <math>\mathcal{B}-</math>wolnych''') – zbiory wszystkich [[Liczby całkowite|liczb całkowitych]] niebędących wielokrotnościami żadnej z liczb <math>b \in \mathcal{B}</math> dla danego zbioru <math>\mathcal{B}</math> będącego podzbiorem [[Liczby naturalne|zbioru liczb naturalnych]]<ref>{{Cytuj |autor = Stanisław Kasjan, Gerhard Keller, Mariusz Lemańczyk |tytuł = Dynamics of <b>B</b>-Free Sets: A View Through the Window |czasopismo = International Mathematics Research Notices |data = 2017-08-31 |data dostępu = 2023-12-04 |issn = 1073-7928 |wolumin = 2019 |numer = 9 |s = 2690–2734 |doi = 10.1093/imrn/rnx196}}</ref><ref name=":0">{{Cytuj |autor = A. Bartnicka; S. Kasjan; J. Kułaga-Przymus; M. Lemańczyk |tytuł = <b>B</b>-free sets and dynamics |data = 2015-09-26 |data dostępu = 2023-12-05 |doi = 10.48550/arXiv.1509.08010 |język = en}}</ref>. Formalnie zbiór <math>\mathcal{B}-</math>wolny oznaczamy przez <math>\mathcal{F}_{\mathcal{B}}</math> i definiujemy

<math>\mathcal{F}_{\mathcal{B}} := \mathbb{Z} \setminus \bigcup_{b \in \mathcal{B}}b \mathbb{Z}.</math>

Badaniem zbiorów <math>\mathcal{B}-</math>wolnych zajmuje się przede wszystkim [[teoria ergodyczna]], chodź należą one do zagadnień [[Teoria liczb|teorii liczb]]. Główna strategia przyjęta w ramach badań polega na analizie [[Układ dynamiczny|topologicznych układów dynamicznych]] postaci <math>(X,S)</math> przy <math>(X,d)</math> będącej [[Przestrzeń ciągowo zwarta|zwartą przestrzenią metryczną]], gdzie <math>X \subset  \{0,1\}^{\mathbb{Z}}</math>, tzn. <math>X</math> jest pewnym podzbiorem zbioru wszystkich ciągów <math>x \colon \mathbb{Z} \to \{ 0,1 \}</math>, a <math>S \colon X \to X</math> jest lewym przesunięciem, tzn. <math>S(x) = y</math>, gdzie <math>y(k) = x(k-1) </math>. W takim układzie ciąg <math>\eta \in X</math> definiujemy jako [[Funkcja charakterystyczna zbioru|funkcję charakterystyczną]] zbioru <math>\mathcal{F}_{\mathcal{B}}</math> (<math>\eta (k) = 1</math> gdy <math>k</math> jest liczbą <math>\mathcal{B}-</math>wolną oraz <math>\eta(k) = 0</math> w przeciwnym wypadku). W pracach najczęściej wykorzystuje się klasyczne wyniki teorii ergodycznej, jak np. [[twierdzenie ergodyczne Birkhoffa]], a także wyniki z zakresu [[Teoria miary|teorii miary]] czy [[chińskie twierdzenie o resztach]]. 

Przykładem zbioru liczb '''<math>\mathcal{B}-</math>'''wolnych jest [[Liczby pierwsze|zbiór liczb pierwszych]] wraz z <math>1, -1</math> i liczbami pierwszymi przemnożonymi przez <math>-1</math>. Zbiór ten możemy otrzymać przyjmując <math>\mathcal{B} = \{pq \colon p, q \in \mathbb{P}\}</math>. Wówczas problem występowania bloku <math>(1,0,1)</math> czy innych w ciągu <math>\eta</math> jest równoważny z [[Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych|problemem liczb pierwszych bliźniaczych]] oraz innymi odpowiednikami. 

Jednym z najważniejszych problemów dotyczących zbiorów i liczb <math>\mathcal{B}-</math>wolnych jest nieskończoność występowania danych bloków 0 i 1 w ciągu <math>\eta</math>. Przykładowo, jeśli <math>(\eta(1), \eta(2), \eta(3)) = (1, 0, 1)</math>, to można zadać pytanie, czy istnieje nieskończenie wiele liczb całkowitych <math>k</math>, dla których <math>(\eta(k+1), \eta(k+2), \eta(k+3)) = (1,0,1)</math>. 

Jednym z czołowych matematyków zajmujących się badaniem zbiorów <math>\mathcal{B}-</math>wolnych jest [[Mariusz Lemańczyk]].

== Zbiory <math>X_{\eta}, \widetilde{X_{\eta}}</math> i <math>X_{\mathcal{B}}</math> ==
Analiza struktury zbioru <math>\mathcal{F}_{\mathcal{B}}</math> oparta jest na analizie trzech układów dynamicznych<ref name=":0" />:

* <math>(X_{\eta},S)</math>, gdzie <math>X_{\eta}</math> jest domknięciem orbity <math>O_{S}(\eta) = \{S^n \eta \colon n \in \mathbb{Z}\}</math>,
* <math>(\widetilde{X_{\eta}},S)</math>, gdzie <math>\widetilde{X_{\eta}}</math> jest najmniejszym (w sensie zawierania) zbiorem dziedzicznym zawierającym <math>X_{\eta}</math> jako swój podzbiór. O zbiorze <math>A \subset \{0,1\}^{\mathbb{Z}}</math> powiemy, że jest ''dziedziczny'', jeśli dla dowolnych ciągów <math>x,y \in \{0,1\}^{\mathbb{Z}}</math> takich, że <math>x(k) \leqslant y(k) </math> dla wszystkich <math>k \in \mathbb{Z}</math> warunek <math>y \in A</math> implikuje <math>x \in A</math>,
* <math>(X_{\mathcal{B}},S)</math>, gdzie <math>X_{\mathcal{B}} = \{x \in \{0,1\}^{\mathbb{Z}} \colon |\text{supp }x \text{ mod } b| < b\}</math>. Warunek definiujący zbiór oznacza, że nie dla wszystkich <math>r \in \{0,1,\ldots,b-1\}</math> istnieje <math>n \in \mathbb{Z}</math> taka, że <math>x(nb + r) = 1</math>. Zbiór <math>X_{\mathcal{B}}</math> nazywamy zbiorem ciągów <math>\mathcal{B}-</math>''dopuszczalnych''.
Znany wynik z teorii układów dynamicznych mówi, że dla dowolnego <math>U</math> będącego otwartym otoczeniem <math>\eta</math> zbiór <math>\{n \in \mathbb{Z} \colon S^n \eta \in U\}  </math> jest ''syndetyczny'' (ma ograniczone różnice między kolejnymi elementami) wtedy i tylko wtedy, gdy układ <math>(X_{\eta},S)</math> jest [[Układ minimalny|minimalny]]. Warunek syndetyczności powyższego zbioru jest znacznie silniejszy od występowania nieskończenie wielu takich samych bloków na <math>\eta</math>. Jednakże układ <math>(X_{\eta},S)</math> zwykle nie jest minimalny, dlatego występowanie bloków na <math>\eta</math> uzasadnia się z wykorzystaniem innych własności tego układu lub z wykorzystaniem tzw. kanonicznych liczników.

== Kanoniczny licznik ==
Dla danego zbioru <math>\mathcal{B} = \{b_1, b_2, \ldots\}</math> oznaczamy

<math>G_{\mathcal{B}} = \prod_{k \geqslant 1} \mathbb{Z} /b_k \mathbb{Z}</math>.

<math>G_{\mathcal{B}}</math> jest wówczas [[Grupa abelowa|grupą abelową]] ze zdefiniowanym dodawaniem wzdłuż współrzędnych, <math>Tg = g + (1,1,1,\ldots)</math> (przy czym jeśli <math>g(k) = b_k - 1</math>, to <math>(g + (1,1,1,\ldots))(k) = 0 </math>). [[Topologia produktowa]] na <math>G_{\mathcal{B}}</math> jest [[Przestrzeń metryzowalna|metryzowalna]], z (ograniczoną) metryką

<math>d(g,g') = \sum_{k \geqslant 1} \frac{1}{2^{k}} \frac{|g_k - {g'}_k|}{1 + |g_k - {g'}_k|}  </math>.

Oznaczamy <math>\mathbb{P} = \otimes m_{\mathbb{Z}/b \mathbb{Z}} </math> dla <math>m_{\mathbb{Z}/b \mathbb{Z}}</math> będących [[Miara licząca|miarami zliczającymi]], tzn. [[Miara produktowa|miarą produktową]] będącą jednocześnie [[Miara Haara|miarą Haara]] (ponieważ wartość <math>\mathbb{P}(A)</math> nie zmienia się pod wpływem [[Działanie grupy na zbiorze|działania grupowego]] <math>T</math> na <math>A</math>). Układ <math>(G_{\mathcal{B}}, T, \mathbb{P}) </math> nazywamy ''kanonicznym licznikiem'' (ang. canonical odometer) powiązanym z <math>\mathcal{B}</math>. Przykładowo, jeśli <math>A = \{g \in G_{\mathcal{B}} \colon \; g(1) = 0, \; g(2) \in \{0,1\}\}</math>, to 

<math>\mathbb{P}(A) = \frac{1}{b_1} \cdot \frac{2}{b_2} \cdot 1 \cdot 1 \cdot \ldots = \frac{2}{b_1 b_2}  </math>. 
[[Plik:B free factor 2.png|mały|Przykład działania faktora <math>\varphi</math> dla <math>\mathcal{B} = \{2,3,5\}</math> i <math>g = (1,1,3)</math>. Wyraz <math>\varphi(g)(n) = \mathbf{1}_{C}(T^n g)  </math> przyjmuje wartość równą 0, jeśli któraś ze współrzędnych <math>
T^n g</math> w <math>G_{\mathcal{B}}</math> jest podzielna przez pewną liczbę <math>b \in \mathcal{B}</math> (znajduje się w czerwonym prostokącie).]]
Własności kanonicznego liczniku mają ogromny wpływ na pierwotny układ dynamiczny, ponieważ istnieje faktor <math>\varphi \colon G_{\mathcal{B}} \to \{0,1\}^{\mathbb{Z}}     </math> zadany przez <math>\varphi(g)(n)  = \mathbf{1}_{C}(T^n g) </math> dla <math>C = \{g \in G_{\mathcal{B}} \colon \; g_{i} \neq 0, \;  i = 1,2,\ldots\}  </math> taki, że <math>\varphi \circ T^n = S^n \circ \varphi </math> dla dowolnego <math>n \in \mathbb{Z}</math>, a ponadto, z [[Chińskie twierdzenie o resztach|CRT]] wynika, że <math>(G_{\mathcal{B}}, T) </math> jest układem minimalnym. Dodatkowo, <math>(G_{\mathcal{B}}, T) </math> spełnia definicję [[Grupa abelowa|grupy abelowej]], więc - ze względu na minimalność - jest ona jednoznacznie ergodyczna<ref>{{Cytuj |autor = Shahar Mozes, Barak Weiss |tytuł = Minimality and unique ergodicity for subgroup actions |czasopismo = Annales de l’institut Fourier |data = 1998 |issn = 0373-0956 |wolumin = 48 |numer = 5 |s = 1533–1541 |doi = 10.5802/aif.1665}}</ref>, tzn. istnieje tylko jedna miara ergodyczna mogąca być jej przypisana i jest nią <math>\mathbb{P}</math>.

Kanoniczny licznik możemy powiązać z układem <math>(X_{\mathcal{B}},S)</math> przy pomocy miary Mirsky'ego, zdefiniowanej dla dowolnego <math>A \subset X_{\mathcal{B}}</math> za pomocą odwrotności faktora <math>\varphi</math>, jako

<math>\nu(A) = \mathbb{P}(\varphi^{-1}(A))</math>.

== Generyczność punktów ==
O elemencie <math>x \in \{0,1\}^{\mathbb{Z}} </math> powiemy, że jest ''generyczny'', jeśli

<math>\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N }\sum_{n=0}^{N-1}\mathbf{1}_{C}(S^n x) = \nu(C)</math>

dla dowolnego cylindra <math>C</math> (zbioru postaci <math>\{x \in \{0,1\}^{\mathbb{Z}} \colon \; x(j_s) = 0, \; s =1, 2, \ldots, r\}</math> dla pewnego skończonego <math>r \in \mathbb{N}</math>). Element ten nazwiemy ''quasi-generycznym'', jeśli istnieje ciąg <math>(N_k)</math> taki, że

<math>\lim_{k \to \infty} \frac{1}{N_k }\sum_{n=0}^{N_k -1}\mathbf{1}_{C}(S^n x) = \nu(C)</math>.

Wiadomo<ref name=":0" />, że dla dowolnego <math>\mathcal{B} \subset \mathbb{N} </math> ciąg <math>\eta</math> jest quasi-generyczny, a jeśli <math>\mathcal{B}</math> spełnia warunek [[Abram Besicovitch|Besicovitcha]]

<math>\sum_{b \in \mathcal{B}} \frac{1}{b} < \infty </math>,

to, ponadto, <math>\eta</math> jest generyczna.

== Obliczanie miary Mirsky'ego ==
Przy mierze Mirsky'ego zdefiniowanej za pomocą miary <math>\mathbb{P}</math> i odwzorowania <math>\varphi^{-1}</math>, dla dowolnego skończonego zbioru <math>A \subset \mathbb{N}</math>, oznaczając cylinder <math>C_{A}^{1} = \{x \in \{0,1\}^{\mathbb{Z}} \colon \; x(k) = 1
, \; k \in A\} </math>, możemy pokazać, że

<math>\nu(C_{A}^{1}) = \prod_{k \geqslant 1}\left( 1 - \frac{|\text{supp }A \text{ mod} \; b_k |}{b_k} \right)</math>,

gdzie <math>\text{supp}</math> oznacza [[Nośnik funkcji|nośnik zbioru]]. Jeśli <math>A</math> jest skończony i <math>\mathcal{B}-</math>dopuszczalny ( <math>|\text{supp } A \text{ mod} \; b| < b</math> dla każdego <math>b \in \mathcal{B}</math>), to wykazujemy, że <math>\nu(C^{1}_{A}) > 0</math>.

== Wnioski w teorii liczb ==
Jeśli zbiór '''<math>\mathcal{B} = \{b_1,b_2,\ldots\}</math> '''spełnia warunki

<math>\sum_{b \in \mathcal{B}} \frac{1}{b} < \infty </math>

oraz <math>\text{NWD}(b_i, b_j) = 1</math> dla <math>i \neq j</math>, to każdy blok, który występuje na <math>\eta</math> przynajmniej raz, będzie tam występował nieskończenie często<ref name=":0" />. Wynika to z generyczności <math>\eta</math> oraz dodatniości miary <math>\nu(C^{1}_{A})</math> dla cylindra <math>C^{1}_{A}</math> odpowiadającego temu blokowi. Z warunku <math>\text{NWD}(b_i, b_j) = 1</math> korzystamy, aby pokazać, że <math>(G_{\mathcal{B}}, T) </math> jest minimalny, a z warunku Besicovitcha, żeby wykazać dodatniość miary.

Zbiór <math>\mathcal{B}</math> generujący <math>\mathcal{F}_{\mathcal{B}}</math> [[Liczby pierwsze|zbiór liczb pierwszych]] wraz z <math>1, -1</math> i liczbami pierwszymi przemnożonymi przez <math>-1</math> nie spełnia powyższych założeń. Oznacza to, że teoria zbiorów <math>\mathcal{B}-</math>wolnych nie potrafi rozstrzygnąć problemów takich, jak [[hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych]].

Przykładami zbiorów <math>\mathcal{B}-</math>wolnych, dla których <math>\mathcal{B}</math> spełnia warunki, są<ref name=":0" />:

* [[liczby bezkwadratowe]] (dla <math display="inline">\mathcal{B} = \{p^2 \colon p \in \mathbb{P}\}   </math>),
* [[liczby deficytowe]],
* [[liczby nadmiarowe]].

== Przypisy ==
{{Przypisy}}
[[Kategoria:Teoria układów dynamicznych]]
[[Kategoria:Teoria liczb]]