Tekst źródłowy strony Zbieżność prawie wszędzie

'''Zbieżność prawie wszędzie''' ciągu funkcji względem (pewnej) [[miara (matematyka)|miary]] – rodzaj zbieżności [[ciąg funkcyjny|ciągów funkcyjnych]] rozważany w [[teoria miary|teorii miary]] i [[analiza matematyczna|analizie matematycznej]]. Pojęcie to pojawiło się w sferze zainteresowań matematyków z początkiem XX wieku. W [[teoria prawdopodobieństwa|teorii prawdopodobieństwa]] i [[statystyka|statystyce]] znane jest ono pod nazwą '''zbieżność z prawdopodobieństwem 1''' lub '''[[prawie na pewno]]'''.

== Definicja ==
=== Teoria miary ===
Niech <math>(X,\mathfrak{M})</math> będzie [[Przestrzeń mierzalna|przestrzenią mierzalną]] oraz niech <math>\mu \colon \mathfrak{M} \longrightarrow [0,\infty]</math> będzie [[Miara (matematyka)|miarą]]. Niech <math>(Y,d)</math> będzie [[Przestrzeń metryczna|przestrzenią metryczną]], <math>A\in\mathfrak{M}</math> oraz <math>f_n, f \colon A \longrightarrow Y.</math>

Mówimy, że ciąg <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> jest ''prawie wszędzie zbieżny do funkcji'' <math>f</math> (względem miary <math>\mu</math> na zbiorze <math>A</math>), jeśli istnieje zbiór mierzalny <math>B \subset A, \mu(B) = 0</math> taki, że
: <math>\lim_{n\to\infty} f_n(x) = f(x)</math> dla <math>x\in A \setminus B.</math>

Ciąg funkcji <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest więc zbieżny prawie wszędzie do funkcji <math>f,</math> jeśli jest on [[Zbieżność punktowa|zbieżny punktowo]] do funkcji <math>f</math> poza zbiorem miary zero.

=== Teoria prawdopodobieństwa ===
Niech <math>( \Omega, \mathcal{F}, P )</math> będzie [[Przestrzeń probabilistyczna|przestrzenią probabilistyczną]].

; Przypadek jednowymiarowy:
Niech <math>X, X_1, X_2,\dots : \Omega \to \mathbb{R}</math> będą [[Zmienna losowa|zmiennymi losowymi]]. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych <math>(X_n)_{n\in {\mathbb N}}</math> jest ''zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno)'' do zmiennej <math>X,</math> jeżeli
: <math>P \left( \{ \omega \in \Omega : \lim\limits_{n \to \infty} X_n(\omega) = X(\omega) \} \right) = 1.</math>

; Przypadek wielowymiarowy:
Niech <math>X, X_1, X_2,\dots : \Omega \to \mathbb{R}^s</math> będą wektorami losowymi. Mówimy, że ciąg wektorów losowych <math>(X_n)_{n\in {\mathbb N}}</math> jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) do wektora <math>X,</math> jeżeli
: <math>\bigwedge\limits_{\varepsilon > 0 } \ \lim\limits_{n \to \infty} P \left( \bigcap\limits_{k=n}^\infty \{ \omega \in \Omega : || X_k(\omega) - X(\omega) || < \varepsilon \} \right) = 1,</math>

gdzie <math>|| \cdot || : \mathbb{R}^s \to [0, \infty)</math> oznacza [[Przestrzeń unormowana|normę euklidesową]] w <math>\mathbb{R}^s.</math>

== Uwagi ==
* Pojęcie zbieżności z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno) jest odpowiednikiem zbieżności prawie wszędzie. W rachunku prawdopodobieństwa i statystyce terminy te są stosowane zamiennie.
* Zdanie: „ciąg <math>(f_n)_{n \in \mathbb{N}}</math> jest prawie wszędzie zbieżny do funkcji <math>f</math>”, używając symboliki matematycznej zapisuje się krótko:
:: <math>f_n \xrightarrow{p.w.} f</math>

== Własności ==
* Każdy ciąg [[zbieżność prawie jednostajna|zbieżny prawie jednostajnie]] jest zbieżny prawie wszędzie.
* Jeśli miara <math>\mu</math> jest [[Miara σ-skończona|skończona]] oraz ciąg <math>(f_n)_{n\in\mathbb{N}}</math> jest <math>\mu</math>-prawie wszędzie zbieżny do funkcji <math>f,</math> to ciąg ten jest zbieżny [[Zbieżność według miary|według miary]] (do tej samej funkcji). W szczególności, jeśli ciąg zmiennych losowych określonych na danej [[Przestrzeń probabilistyczna|przestrzeni probabilistycznej]] jest zbieżny z prawdopodobieństwem 1 to jest on [[Zbieżność według miary|zbieżny według prawdopodobieństwa]].

== Zobacz też ==
* [[zbieżność według miary]]
* [[zbieżność według rozkładu]]
* [[twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej]]
* [[twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej]]

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Bartoszewicz |imię = Jarosław |tytuł = Wykłady ze statystyki matematycznej |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1989 |strony = 52 |isbn = 83-01-09054-5}}

[[Kategoria:Ciągi funkcyjne]]
[[Kategoria:Granice]]
[[Kategoria:Teoria miary]]
[[Kategoria:Rachunek prawdopodobieństwa]]