Tekst źródłowy strony Zbiór pierwszej kategorii

'''Zbiór pierwszej kategorii''' (czasami '''zbiór mizerny''' lub '''szczupły''') – zbiór, który można przedstawić w postaci [[Zbiór przeliczalny|przeliczalnej]] [[Suma zbiorów|sumy]] [[Zbiór nigdziegęsty|zbiorów nigdziegęstych]].

== Definicja formalna ==
Niech <math>(X,\tau)</math> będzie [[przestrzeń topologiczna|przestrzenią topologiczną]]. Powiemy, że zbiór <math>A\subseteq X</math> jest '''pierwszej kategorii [[René-Louis Baire|Baire’a]] w <math>X</math>''' (lub '''I kategorii''') jeśli można go przedstawić jako sumę <math>A=\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n,</math> gdzie każdy ze zbiorów <math>A_n</math> jest nigdziegęsty w <math>X</math> (tzn. <math>\mathrm{int}\big(\mathrm{cl}(A_n)\big)=\emptyset</math>). Rodzinę wszystkich zbiorów pierwszej kategorii w <math>X</math> będziemy oznaczać przez <math>\mathcal K(X)</math> (albo po prostu przez <math>\mathcal K</math> jeśli jest jasne o jakiej przestrzeni topologicznej mówimy).

Zbiory które nie są pierwszej kategorii nazywane są '''zbiorami drugiej kategorii Baire’a''' (lub '''II kategorii''').

== Własności ==
* Zbiory pierwszej kategorii w przestrzeni <math>X</math> tworzą [[Ideał (teoria mnogości)|σ-ideał]] podzbiorów <math>X.</math> Każdy zbiór z <math>\mathcal K(X)</math> jest zawarty w pewnym zbiorze [[Zbiór typu F-sigma|typu F<sub>σ</sub>]], który też jest pierwszej kategorii.
* [[Zbiór otwarty|Otwarte]] niepuste podzbiory [[Przestrzeń zupełna|przestrzeni zupełnej]] '''nie''' są pierwszej kategorii w tej przestrzeni.
* [[Zbiór doskonały|Doskonałe]] [[przestrzeń polska|przestrzenie polskie]] ''wyglądają tak samo'' jeśli patrzymy na ich podzbiory [[Zbiór borelowski|borelowskie]] i zbiory pierwszej kategorii: jeśli <math>X,Y</math> są doskonałymi przestrzeniami polskimi to istnieje izomorfizm borelowski <math>\varphi\colon X\longrightarrow Y</math> który zachowuje zbiory pierwszej kategorii (tzn. <math>A\in \mathcal K(X)</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\varphi(A)\in \mathcal K(Y)</math>).
* Każda rodzina rozłącznych borelowskich podzbiorów prostej rzeczywistej <math>\mathbb R</math> które nie są pierwszej kategorii jest co najwyżej przeliczalna.

== Przykłady i zastosowanie ==
* Każdy przeliczalny podzbiór [[liczby rzeczywiste|prostej rzeczywistej]] <math>\mathbb R</math> jest I kategorii w <math>\mathbb R.</math> W szczególności zbiór [[liczby wymierne|liczb wymiernych]] jest pierwszej kategorii (choć jest to [[zbiór gęsty|gęsty podzbiór]] <math>\mathbb R</math>).
* Prostą rzeczywistą <math>\mathbb R</math> można przedstawić jako [[Suma zbiorów|sumę]] dwóch zbiorów, <math>\mathbb R=K\cup L,</math> takich że
:: <math>K</math> jest zbiorem pierwszej kategorii, a
:: <math>L</math> jest [[Zbiór miary zero|zbiorem miary zero Lebesgue’a]].
: Aby podać przykład takich zbiorów <math>K,L</math> ustalmy numerację <math>\langle q_n\colon n=1,2,3,\dots\rangle</math> zbioru liczb wymiernych. (Przypomnijmy, że zbiór liczb wymiernych jest [[zbiór przeliczalny|przeliczalny]].) Dla liczb naturalnych <math>n,m</math> niech <math>I^n_m</math> będzie [[Przedział (matematyka)|odcinkiem]] otwartym o środku w <math>q_n</math> i długości <math>2^{-(n+m)}.</math> Wówczas zbiór <math>L=\bigcap\limits_{m=1}^\infty\bigcup\limits_{n=1}^\infty I^n_m</math> jest miary zero, ale jego [[Dopełnienie zbioru|dopełnienie]] <math>K=\mathbb R\setminus L</math> jest pierwszej kategorii.
* Inny przykład rozkładu jak powyżej jest dany przez [[Liczba Liouville’a|liczby Liouville’a]]: zbiór liczb Liouville’a jest miary zero na prostej, a jego dopełnienie jest zbiorem pierwszej kategorii.
* Polski matematyk [[Stefan Banach]] przedstawił w [[1931]] następujące spektakularne zastosowanie zbiorów pierwszej kategorii. Niech <math>\mathcal C([0,1])</math> będzie przestrzenią wszystkich [[Funkcja ciągła|funkcji ciągłych]] z odcinka <math>[0,1]</math> w zbiór liczb rzeczywistych <math>\mathbb R.</math> Wyposażmy <math>\mathcal C([0,1])</math> w topologię zbieżności jednostajnej zadanej przez [[przestrzeń metryczna|metrykę]]
:: <math>d(f,g)=\sup\{|f(x)-g(x)|\colon x\in [0,1]\}.</math>
: Wówczas <math>\mathcal C([0,1])</math> jest przestrzenią polską. Rozważmy zbiór
:: <math>NR=\big \{f\in \mathcal C([0,1])\colon f</math> nie ma [[Pochodna funkcji|pochodnej]] w żadnym punkcie odcinka <math>[0,1]\ \big\}.</math>
: Banach udowodnił, że zbiór <math>\mathcal C([0,1])\setminus NR</math> jest pierwszej kategorii w <math>\mathcal C([0,1]),</math> czyli że z topologicznego punktu widzenia ''prawie każda'' funkcja ciągła nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie.

== Gra Banacha-Mazura ==
Ze zbiorami pierwszej kategorii związana jest (najprawdopodobniej) pierwsza z pozycyjnych [[gry nieskończone|gier nieskończonych]] rozważanych w matematyce. Gra ta była opisana przez polskiego matematyka [[Stanisław Mazur|Stanisława Mazura]] w Problemie 43 w [[Księga szkocka|Księdze Szkockiej]]. Odpowiedź na pytanie Mazura była dana przez Stefana Banacha w [[1935]].

Niech ''Z'' będzie dowolnym podzbiorem <math>\mathbb R.</math> Rozważmy następującą grę dwóch graczy, oznaczanych przez A i B. Gracze wykonują nieskończenie wiele posunięć ponumerowanych liczbami naturalnymi <math>n=1,2,3,\dots</math> Zaczynają w ten sposób, że Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty <math>I_1,</math> a Gracz B odpowiada przez wskazanie niepustego otwartego przedziału <math>I_2\subseteq I_1.</math> Kiedy gracze dochodzą do <math>n</math> tego kroku w grze, to mają oni skonstruowany zstępujący ciąg niepustych przedziałów otwartych <math>I_1\supseteq I_2\supseteq \ldots I_{2n-2}\supseteq I_{2n-1}.</math> Na <math>n</math> tym etapie gry najpierw Gracz A wybiera niepusty przedział otwarty <math>I_{2n}\subseteq I_{2n-1},</math> a potem Gracz B wskazuje niepusty otwarty przedział <math>I_{2n+1}\subseteq I_{2n}.</math>

Kiedy gracze wykonają już wszystkie posunięcia (jest ich nieskończenie wiele!), to decydujemy, że Gracz B wygrał partię <math>\langle I_n\colon n=1,2,3,4,\dots\rangle</math> wtedy i tylko wtedy, gdy <math>\bigcap\limits_{n=1}^\infty I_n\subseteq Z.</math>

Okazuje się, że Gracz B ma strategię zwycięską w tej grze wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór <math>\mathbb R\setminus Z</math> jest pierwszej kategorii.

== Zobacz też ==
* [[diagram Cichonia]]
* [[ideał (teoria mnogości)|ideały w teorii mnogości]]
* [[własność Baire’a]]
* [[zbiór nigdziegęsty]]

[[Kategoria:Topologiczne własności zbiorów]]