Tekst źródłowy strony Zbiór otwarto-domknięty

[[Plik:Pseudoforest.svg|thumb|240px|Przykłady zbiorów otwarto-domkniętych: (1) każdy z trzech dużych grafów, (2) suma dowolnych dwóch grafów oraz (3) suma wszystkich trzech grafów.]]
'''Zbiór otwarto-domknięty''' – podzbiór [[przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznej]], który jest jednocześnie zbiorem [[zbiór otwarty|otwartym]] i [[zbiór domknięty|domkniętym]].

== Przykłady ==
* W każdej przestrzeni topologicznej <math>X,</math> [[zbiór pusty]] oraz cała przestrzeń <math>X</math> są zbiorami otwarto-domkniętymi.
* Niech przestrzeń <math>X = [0,1] \cup [2,3]</math> będzie wyposażona w topologię [[Topologia podprzestrzeni|podprzestrzeni]] dziedziczoną z prostej [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]]. Wówczas, przestrzeń <math>X</math> ma następujące podzbiory otwarto-domknięte: [[zbiór pusty]], <math>X, [0,1], [2,3].</math>
* Rozważmy przestrzeń topologiczną zbioru <math>\mathbb Q</math> liczb [[liczby wymierne|wymiernych]] z topologią podprzestrzeni dziedziczoną z prostej rzeczywistej. Wówczas, zbiór <math>A=\{r\in \mathbb Q:r^2<2\}</math> jest otwarto-domkniętym podzbiorem <math>\mathbb Q.</math> Ogólniej, jeśli <math>I</math> jest [[przedział (matematyka)|przedziałem]] liczb rzeczywistych o różnych końcach [[liczby niewymierne|niewymiernych]], to <math>I\cap \mathbb Q</math> jest otwarto-domkniętym podzbiorem <math>\mathbb Q</math> (mimo iż zbiór ten '''nie''' jest ani otwarty ani domknięty na prostej <math>\mathbb R</math>).
* Jeśli <math>J \subseteq \mathbb R</math> jest przedziałem o różnych końcach wymiernych, to <math>J\setminus \mathbb Q</math> jest otwarto-domkniętym podzbiorem przestrzeni liczb niewymiernych <math>\mathbb R \setminus \mathbb Q</math> (ale ten zbiór '''nie''' jest ani otwarty ani domknięty w <math>\mathbb R</math>).

== Własności ==
* Przestrzeń topologiczna <math>X</math> jest [[Przestrzeń spójna|spójna]] wtedy i tylko wtedy, gdy jedynymi zbiorami otwarto-domkniętymi w <math>X</math> są zbiór pusty oraz cała przestrzeń <math>X.</math>
* Zbiór jest otwarto-domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy jego [[Brzeg (matematyka)|brzeg]] jest zbiorem pustym.
* Przestrzeń topologiczna jest [[Przestrzeń dyskretna|dyskretna]] wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej podzbiory są otwarto-domknięte.
* Rodzina <math>\mathrm{Clop}(X)</math> wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów przestrzeni <math>X</math> tworzy [[Ciało zbiorów|ciało podzbiorów]] tej przestrzeni. W szczególności, struktura <math>(\mathrm{Clop}(X),\cup,\cap,{}',\varnothing,X)</math> jest [[algebra Boole’a|algebrą Boole’a]].
* [[Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a]] mówi, że każda algebra Boole’a jest izomorficzna z ciałem otwarto-domkniętych podzbiorów pewnej przestrzeni topologicznej.

== Zobacz też ==
* [[przestrzeń całkowicie niespójna]]
* [[przestrzeń ekstremalnie niespójna]]
* [[Przestrzeń zerowymiarowa|przestrzeń zero-wymiarowa]]

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Błaszczyk |imię = Aleksander |autor link = Aleksander Błaszczyk |nazwisko2 = Turek |imię2 = Sławomir |tytuł = Teoria mnogości |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |rok = 2007 |strony = 234 |isbn = 978-83-01-15232-1}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres = Clopen | tytuł = Clopen }} [dostęp 2022-10-09].

{{Topologiczne własności zbiorów}}

[[Kategoria:Topologiczne własności zbiorów]]