Tekst źródłowy strony Zbiór ekstremalnie niemierzalny

'''Zbiór ekstremalnie niemierzalny''' – ''patologiczny'' w sensie [[miara (matematyka)|miary]] podzbiór [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] (dowolnego wymiaru). Definiuje się go jako taki zbiór, który sam ani jego [[dopełnienie zbioru|dopełnienie]] nie zawiera podzbioru mierzalnego o dodatniej [[miara Lebesgue’a|mierze Lebesgue’a]]; równoważnie: [[miara wewnętrzna]] Lebesgue’a tego zbioru i jego dopełnienia jest równa zeru.

== Niemierzalność ==
Zbiór ekstremalnie niemierzalny jest niemierzalny. Istotnie, założenie, że <math>A</math> jest mierzalny, pociągałoby mierzalność <math>A^\mathrm c;</math> z definicji zarówno <math>A,</math> jak i <math>A^\mathrm c</math> byłyby wtedy zbiorami miary Lebesgue’a zero, co oznaczałoby, że cała przestrzeń euklidesowa byłaby zbiorem miary Lebesgue’a zero.

== Przykłady ==
* Niech <math>w</math> będzie [[liczby niewymierne|liczbą niewymierną]], zaś <math>C = \{k + lw\colon k, l \in \mathbb Z\}</math> oraz <math>D = \{k + 2lw\colon k, l \in\mathbb Z\}.</math> Relacja <math>\sim</math> zdefiniowana wzorem <math>x \sim y \iff x - y \in C</math> jest [[relacja równoważności|relacją równoważności]] na prostej. Niech <math>V</math> będzie [[aksjomat wyboru|zbiorem zawierającym po jednym elemencie]] z każdej [[Relacja równoważności|klasy abstrakcji]] relacji <math>\sim.</math> Wówczas zbiór <math>V + D</math> jest ekstremalnie niemierzalnym podzbiorem prostej.
* Niech <math>f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R</math> będzie [[funkcja ciągła|nieciągłą]] [[funkcja addytywna (algebra)|funkcją addytywną]]. Zbiór <math>f^{-1}\left([a,b]\right)</math> dla dowolnych <math>a < b</math> jest wtedy ekstremalnie niemierzalnym podzbiorem przestrzeni <math>\mathbb R^n.</math>

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kuczma |imię = Marek |autor link = Marek Kuczma |tytuł = An Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities: Cauchy’s Equation and Jensen’s Inequality, second edition |wydawca = Bikrhauser |miejsce = Basel |data = 2009 |isbn = 978-3-7643-8748-8}}

[[Kategoria:Teoria miary]]