Tekst źródłowy strony Zagadnienie własne dla operatora Laplace’a

{{Dopracować|styl|z podręcznikowego na encyklopedyczny}}
'''Operator T [[Funkcja odwrotna|odwrotny]] do [[Operator Laplace’a|operatora Laplace’a]]''' definiujemy następująco.
Rozpatrzmy [[Równanie własne|zagadnienie własne]] dla [[Równanie różniczkowe Poissona|równania Poissona]] z zerowymi [[Zagadnienie brzegowe|warunkami brzegowymi]], tj.
: <math>\begin{cases}
-\triangle {u(x)} = \lambda {u(x)}, &x\in\Omega\subseteq\mathbb{R}^n\\
u(x) = 0, & x\in\partial\Omega
\end{cases}</math>

gdzie <math>\lambda\in\mathbb{R}</math> jest [[Wektory i wartości własne|wartością własną]] operatora Laplace’a, a funkcja <math>u(x) \ne 0</math>
[[Wektory i wartości własne|funkcją własną]]. W języku [[przestrzeń Sobolewa|przestrzeni Sobolewa]] możemy napisać, że
<math>u \in W_0^{1,2}.</math> Zdefiniujmy operator:
: <math>T: L^2(\Omega) \to W_0^{1,2}(\Omega) \subseteq L^2(\Omega)</math>

następująco:
: <math>T(f) = u \Leftrightarrow -\triangle u = f,</math>

tj. <math>u</math> jest [[słabe rozwiązanie|słabym rozwiązaniem]] równania Poissona.

== Własności operatora odwrotnego do operatora Laplace’a ==
# Operator <math>T</math> jest dobrze określony, [[funkcja liniowa|liniowy]], [[Operator liniowy ograniczony|ciągły]].
# Operator <math>T</math> jest [[operator zwarty|zwarty]].
# Operator <math>T</math> jest [[operator samosprzężony|samosprzężony]].

== Wartości własne operatora Laplace’a ==
Z [[twierdzenie spektralne|twierdzenia spektralnego]] dla operatorów zwartych i samosprzężonych wynika, że:
# Wszystkie wartości własne operatora Laplace’a na ograniczonym obszarze <math>\Omega\subseteq\mathbb{R}^n</math> są dodatnie, mają skończone krotności, a <math>+\infty</math> jest punktem skupienia wartości własnych.
# Istnieje [[baza ortonormalna]] przestrzeni <math>L^2(\Omega)</math> złożona z funkcji własnych laplasjanu.

{{Równania różniczkowe}}

[[Kategoria:Analiza spektralna]]
[[Kategoria:Równania różniczkowe cząstkowe]]