Tekst źródłowy strony Wyznacznik Slatera

{{Dopracować|źródła=2011-03}}
'''Wyznacznik Slatera''' – [[funkcja falowa]] opisująca w przybliżeniu stan układu N [[Fermiony|fermionów]].

Niech <math>\psi_i(\alpha_j)</math> będzie <math>i</math>-tą funkcją falową opisującą <math>j</math>-tą cząstkę. Wtedy funkcja falowa układu ma postać:
: <math>\psi(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_N) = \frac{1}{\sqrt{N!}}\left|
\begin{matrix}
\psi_1(\alpha_1) && \psi_1(\alpha_2) && \ldots && \psi_1(\alpha_N)\\
\psi_2(\alpha_1) && \psi_2(\alpha_2) && \ldots && \psi_2(\alpha_N)\\
\vdots && \vdots && \ddots && \vdots\\
\psi_N(\alpha_1) && \psi_N(\alpha_2) && \ldots && \psi_N(\alpha_N)
\end{matrix}
\right|</math>

Powyższy zapis nazywamy właśnie wyznacznikiem Slatera.

== Wyprowadzenie ==
Najprostsza funkcja falowa dla dwóch cząstek to iloczyn funkcji jednocząstkowych:
: <math>\psi(\alpha_1, \alpha_2)=\psi_1(\alpha_1)\psi_2(\alpha_2).</math>

Jednak taka funkcja nie jest prawidłową funkcją falową dla fermionów, bo nie jest [[Relacja antysymetryczna|antysymetryczna]], tzn. nie spełnia
: <math>\psi(\alpha_1, \alpha_2)=-\psi(\alpha_2, \alpha_1).</math>

To oznacza, że funkcja w postaci iloczynowej nie jest zgodna z [[Reguła Pauliego|regułą Pauliego]]. Prawidłowa funkcja dwucząstkowa ma postać:
: <math>\psi(\alpha_1, \alpha_2) = \frac{1}{\sqrt{2}}\{\psi_1(\alpha_1)\psi_2(\alpha_2) - \psi_2(\alpha_1)\psi_1(\alpha_2)\}.</math>

Ta funkcja jest antysymetryczna, a kiedy obie funkcje jednocząstkowe są takie same, jest równa zero. Oznacza to, że jest zgodna z regułą Pauliego.

== Uogólnienie ==
Uogólniając to rozumowanie dla dowolnej liczby fermionów, otrzymujemy funkcję, którą da się zapisać w postaci wyznacznika. Widać, że ma ona wymagane własności: jest całkowicie antysymetryczna i znika, gdy dwie funkcje falowe są takie same (bo wtedy otrzymujemy dwie takie same kolumny w wyznaczniku co oznacza, że automatycznie przyjmuje on zerową wartość). Dzięki temu, że na tej drodze eliminowane są wszystkie funkcje symetryczne względem [[permutacja|permutacji]] pary elektronów [[reguła Pauliego]] nie jest łamana.
W ogólności wyznacznik Slatera jest definiowany jako antysymetryczny [[tensor]] wyznaczany przy pomocy [[Rozwinięcie Laplace’a|rozwinięcia Laplace’a]]

Nazwa tej funkcji pochodzi od nazwiska amerykańskiego fizyka [[John C. Slater|Johna C. Slatera]] (1900–1976).

Pojedynczą funkcję falową w postaci wyznacznika Slatera stosuje się w metodzie obliczeniowej [[metoda Hartree-Focka|Hartree-Focka]]. W bardziej zaawansowanych metodach obliczeniowych konieczne jest wykorzystanie kombinacji liniowej wyznaczników Slatera.

== Zobacz też ==
* [[statystyka Fermiego-Diraca]]
* [[Statystyka Fermiego-Diraca|rozkład Fermiego-Diraca]]

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Mechanika kwantowa]]
[[Kategoria:Przykłady wyznaczników]]