Tekst źródłowy strony Wstęga Möbiusa

[[Plik:Möbius strip.jpg|mały|300px|Model wstęgi Möbiusa wykonany z paska [[papier]]u]]
[[Plik:Mobius strip animation.gif|mały]]

'''Wstęga Möbiusa''' – szczególna [[powierzchnia jednostronna]] opisana niezależnie<ref name="Brit">{{Encyklopedia Britannica |id = science/Mobius-strip |tytuł = Mobius strip |data dostępu = 2022-10-05}}</ref> przez niemieckich matematyków [[August Ferdinand Möbius|Augusta Möbiusa]]<ref name="Brit" /><ref name="Encyklopedia PWN3">{{encyklopedia PWN|id = 3942437|tytuł=Möbius August Ferdinand|data dostępu=2018-08-12}}</ref><ref name="Encyclopaedia Britannica2">{{Encyklopedia Britannica |id = biography/August-Ferdinand-Mobius |tytuł = August Ferdinand Möbius |data dostępu = 2018-08-12}}</ref> i [[Johann Benedict Listing|Johanna Benedicta Listinga]]<ref name="Brit" /><ref name="history.mcs.st-and.ac.uk">{{Cytuj stronę |url = https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Listing/ |tytuł = Johann Benedict Listing |opublikowany = history.mcs.st-and.ac.uk |język = en |data dostępu = 2018-08-12}}</ref> w 1858 roku<ref name="Brit" /><ref name="fokus.tv">{{Cytuj stronę |url = http://web.archive.org/web/20160422233144/http://www.fokus.tv/news/wstega-mobiusa-jak-wyglada-i-jakie-ma-wlasciwosci/1352 |tytuł = Wstęga Mobiusa. Jak wygląda i jakie ma właściwości? |opublikowany = fokus.tv |język = pl |data dostępu = 2018-08-12}}</ref><ref name="Encyclopaedia Britannica">{{Encyklopedia Britannica |id = science/Mobius-strip |tytuł = Mobius strip |data dostępu = 2018-08-12}}</ref>: dwuwymiarowa [[przestrzeń zwarta|zwarta]] [[rozmaitość topologiczna]], [[orientacja (matematyka)#Rozmaitość|nieorientowalna]] z brzegiem.

Jej model można uzyskać, sklejając taśmę końcami przy odwróceniu jednego z końców o kąt 180°<ref name="Encyklopedia PWN">{{encyklopedia PWN|id = 3942439|tytuł=Möbiusa wstęga|data dostępu=2018-08-12}}</ref><ref name="math.hmc.edu">{{Cytuj stronę |url = https://www.math.hmc.edu/~gu/curves_and_surfaces/surfaces/moebius.html |tytuł = The Möbius Strip |opublikowany = math.hmc.edu |język = en |data dostępu = 2018-08-12}}</ref><ref name="BrTop">{{Encyklopedia Britannica |id = science/topology |tytuł = topology |data dostępu = 2022-10-05}}</ref><ref name="Leja" />. Stylizowana wstęga Möbiusa jest symbolem [[recykling]]u<ref name="matematyka.poznan.pl">{{Cytuj stronę |url = https://matematyka.poznan.pl/artykul/dlaczego-warto-uczyc-sie-matematyki/ |tytuł = Dlaczego warto uczyć się matematyki |autor = Krzysztof Ciesielski |opublikowany = matematyka.poznan.pl |język = pl |data dostępu = 2018-08-21}}</ref>; w innej stylizacji jest obecna w logotypie [[Międzynarodówka humanistyczna|Międzynarodówki humanistycznej]]. W sztuce znana jest z grafiki [[Maurits Cornelis Escher|Mauritsa Cornelisa Eschera]] przedstawiającej mrówki idące po wstędze Möbiusa<ref name="Warszawa">{{Cytuj książkę |tytuł = Encyklopedia szkolna. Matematyka |wydawca = Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne |miejsce = Warszawa |data = 1990 |strony = 194 |isbn = 83-02-02551-8}}</ref>.

Wstęga Möbiusa przy odpowiednim ułożeniu przypomina symbol [[nieskończoność|nieskończoności]] <math>\infty,</math> co może prowadzić do błędnych przypuszczeń, że symbol ten pochodzi od wstęgi Möbiusa{{refn|grupa=uwaga|Symbol nieskończoności został wprowadzony przez angielskiego matematyka [[John Wallis|Johna Wallisa]] w 1655 roku<ref>{{Cytuj książkę |autor=Ilija Barukčić |tytuł =Theoriae causalitatis principia mathematica |wydawca =BoD – Books on Demand |miejsce =Norderstedt |data = 2017 |strony = 19 |język=en |isbn =9783744815932}}</ref>.}}.

<gallery>
Plik:Recycle001.svg|Symbol [[recykling]]u
Plik:Partido Humanista (corto).svg|Logo [[Międzynarodówka humanistyczna|Międzynarodówki humanistycznej]]
</gallery>

== Konstrukcje ==
[[Plik:MöbiusStripAsSquare.svg|thumb|Należy złączyć krawędzie czerwone tak, aby strzałki miały ten sam zwrot]]
[[Plik:MobiusStrip-01.png|thumb|Wykres parametryczny]]
; Relacja równoważności
{{zobacz też|relacja równoważności|topologia ilorazowa}}
Wstęgę Möbiusa można skonstruować z [[prostokąt]]a <math>[0;a]\times [0;b]</math> wprowadzając relację <math>(x,0)\sim (a-x,b)</math> dla <math>0 \leqslant x \leqslant a,</math> która utożsamia dwie przeciwległe krawędzie, wraz z topologią ilorazową względem relacji <math>\sim</math><ref name="LL">[[Franciszek Leja]], ''Rachunek różniczkowy i całkowy'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, {{ISBN|978-83-01-15479-0}}, s. 374.</ref>.

; Parametryzacja
{{zobacz też|równanie parametryczne}}
Innym sposobem jest określenie parametryzacji tej powierzchni<ref name="Leja" />. Niech dany będzie odcinek <math>AB</math> długości <math>2a</math> i środku <math>C</math> poruszający się w przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math> o początku układu <math>O</math> w ten sposób, że punkt <math>C</math> zakreśla okrąg sparametryzowany równaniami:
: <math>x(u)=r\cos u,</math>
: <math>y(u)=r\sin u,</math>
: <math>z(u)=0,</math>

gdzie <math>0\leqslant u\leqslant 2\pi</math><ref name="Leja" />. Niech odcinek <math>AB</math> będzie stale prostopadły do <math>OC,</math> a kąt nachylenia tego odcinka do płaszczyzny <math>\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\colon z=0\}</math> niech równa się <math>\tfrac{u}{2}</math><ref name="Leja" />. Wtedy odcinek <math>AB</math> zakreśla wstęgę Möbiusa o parametryzacji:
: <math>x(u,v)=r\cos u - v\sin\tfrac{u}{2}\sin u,</math>
: <math>y(u,v)=r\sin u + v\sin\tfrac{u}{2}\cos u,</math>
: <math>z(u,v)=v\cos\tfrac{u}{2},</math>

gdzie <math>0\leqslant u < 2\pi</math> oraz <math>-a\leqslant v\leqslant a</math><ref name="Leja" />. Zmiana parametru <math>u</math> powoduje poruszanie punktu wzdłuż wstęgi, zmiana parametru <math>v</math> – w poprzek.

== Własności topologiczne ==
Wstęgę Möbiusa można zanurzyć w [[przestrzeń trójwymiarowa|przestrzeni trójwymiarowej]]. Jej nieorientowalność oznacza, że ma tylko jedną stronę, tzn. jest powierzchnią jednostronną<ref name="Brit" /><ref name="Encyklopedia PWN2">{{encyklopedia PWN|id = 3961220|tytuł=powierzchnia jednostronna|data dostępu=2018-08-12}}</ref><ref name="Leja">[[Franciszek Leja]], ''Rachunek różniczkowy i całkowy'', Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2012, {{ISBN|978-83-01-15479-0}}, s. 374–375.</ref>. W przypadku gładkich parametryzacji oznacza to, że oś normalna wstęgi Möbiusa nie może być funkcją ciągłą na całej powierzchni wstęgi<ref name="LL" />.

Jej brzeg jest [[homeomorfizm|homeomorficzny]] z okręgiem. Oznacza to, wstęga ma tylko jedną intuicyjnie rozumianą krawędź, w przeciwieństwie np. do powierzchni bocznej walca, która ma dwie krawędzie. „Zaklejenie” tego brzegu (niemożliwe w przestrzeni trójwymiarowej) kołem daje [[płaszczyzna rzutowa rzeczywista|płaszczyznę rzutową]], „zaklejenie” tego brzegu inną wstęgą Möbiusa daje [[butelka Kleina|butelkę Kleina]]<ref name="czasopisma.tnkul.pl">{{Cytuj stronę |url = http://czasopisma.tnkul.pl/index.php/rkult/article/viewFile/1027/1142 |tytuł = O relacjach między matematyką i muzyką |autor = [[Tomasz Grębski]] |opublikowany = czasopisma.tnkul.pl |strony = 119 |język = pl |data dostępu = 2018-08-21}}</ref>. Płaszczyzna rzutowa i butelka Kleina są innymi przykładami powierzchni nieorientowalnej. Zachodzi ogólna własność: powierzchnia jest nieorientowalna wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera podzbiór homeomorficzny ze wstęgą Möbiusa.

[[Charakterystyka Eulera]] tej powierzchni jest równa 0<ref>{{MathWorld|adres=EulerCharacteristic|tytuł=Euler Characteristic}}</ref><ref name="strip">{{MathWorld|adres=MoebiusStrip|tytuł=Möbius Strip}}</ref>.

== Rozcinanie wstęgi Möbiusa ==
{{Grafika rozwinięta
| opis       = Różne sposoby rozcinana wstęgi Möbiusa
| całkowita szerokość = 500

| grafika1   = Mobius Half final.gif
| szerokość1 =
| wysokość1 = 123
| opis1      = Jednokrotne przecięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż linii środkowej w połowie szerokości

| grafika2   = Trecina.gif
| szerokość2 =
| wysokość2 = 123
| opis2      = Przecięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż linii środkowej na 1/3 szerokości
}}
Rozcięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż jej linii środkowej nie powoduje jej rozkładu na dwa rozłączne obiekty<ref name="Brit" /><ref name="Encyklopedia PWN" /><ref name="Szczepan">{{Cytuj książkę |autor = Szczepan Jeleński |tytuł = Śladami Pitagorasa. Rozrywki matematyczne, opracowała Emilia Jeleńska pod redakcją A.M. Kusieckiego, Wydanie ósme |wydawca = Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne |miejsce = Warszawa |data = 1988 |strony = 194}}</ref>, lecz powoduje otrzymanie dwukrotnie dłuższej, dwukrotnie skręconej obręczy (posiadającej dwie strony). Rozcięcie wstęgi Möbiusa wzdłuż w jednej trzeciej szerokości powoduje otrzymanie jednej węższej wstęgi Möbiusa o długości równej wyjściowej wstędze oraz splecionej z nią dwukrotnie dłuższej, dwukrotnie skręconej obręczy. W wyniku przecięcia taśmy skręconej przed sklejeniem nie o 180°, jak w przypadku wstęgi Möbiusa, ale 360°, otrzymuje się dwa kręgi węzłowe, połączone jak ogniwa w łańcuchu{{r|Szczepan}}.
{{clear}}

== Zobacz też ==
* [[butelka Kleina]]

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
{{commonscat|Moebius strip}}
* {{MathWorld|adres=MoebiusStrip |tytuł=Möbius Strip |data dostępu=12 grudnia 2020}}
* [https://www.wsjp.pl/index.php?id_hasla=4025 ogólnojęzykowa definicja wstęgi Möbiusa w ''Wielkim słowniku języka polskiego'' pod redakcją Piotra Żmigrodzkiego]

{{kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Powierzchnie prostokreślne]]