Tekst źródłowy strony Wielomian charakterystyczny układu

Niech dana będzie [[transmitancja operatorowa|transmitancja]]
: <math>G(s)=\frac{b_ns^m+\ldots+b_1s+b_0}{s^n+a_{n-1}s^{n-1}+\ldots+a_1s+a_0}</math>

i odpowiadające jej [[Równanie stanu (teoria układów dynamicznych)|równania stanu]] (dla modelu ciągłego) w postaci:
: <math>\dot{\mathbf{x}}(t)  = \mathbf{Ax}(t) + \mathbf{Bu}(t),</math>
: <math>\mathbf{y}(t)  = \mathbf{Cx}(t) + \mathbf{Du}(t),</math>

gdzie:
: <math>\dot{\mathbf{x}}(t)  = \frac{d\mathbf{x}(t)}{dt}.</math>

Macierze stanu łączy z [[transmitancja operatorowa|transmitancją]] następująca zależność:
: <math>G(s) = \mathbf{C}(s\mathbf{I} - \mathbf{A})^{-1}\mathbf{B} + \mathbf{D}.</math>

Jeśli [[transmitancja operatorowa|transmitancja]] ma mieć postać ilorazu dwóch wielomianów zmiennej <math>s,</math> to, po pierwsze współczynnik <math>D</math> różny od zera można otrzymać przez podzielenie wielomianów licznika i mianownika, wyłącznie przy równych stopniach tych wielomianów. Po wyłączeniu składnika <math>D</math> (reprezentującego statyczną relację między wejściem a wyjściem) pozostaje część dynamiczna, w której podstawową rolę pełni człon <math>(s\mathbf{I}-\mathbf{A})^{-1}.</math> Jest to macierz o wymiarach <math>n \times n,</math> której wszystkie elementy są dzielone przez wyznacznik <math>\det (s\mathbf{I}-\mathbf{A}).</math>

Wyznacznik macierzy <math>(s\mathbf{I}-\mathbf{A})</math> jest wielomianem stopnia <math>n,</math> który identyfikujemy z wielomianem stopnia <math>n</math> występującym w mianowniku transmitancji <math>G(s).</math> Jest to właśnie '''wielomian charakterystyczny układu''', a zarazem [[wielomian charakterystyczny]] macierzy <math>\mathbf{A}.</math> Stopień wielomianu charakterystycznego równy <math>n</math> jest równy [[rząd układu dynamicznego|rzędowi układu dynamicznego]]. Tak więc macierz <math>\mathbf{A}</math> i wielomian charakterystyczny pełnią najważniejszą rolę przy określaniu właściwości dynamicznych układu. Od współczynników <math>\mathbf{B}</math> i <math>\mathbf{C}</math> zależy postać transmitancji, zwłaszcza jej licznika, nie mają one natomiast wpływu na wielomian charakterystyczny.

== Zobacz też ==
* [[równanie charakterystyczne]]
* [[twierdzenie Cayleya-Hamiltona]]
* [[wartość własna układu]]
* [[wielomian charakterystyczny]]

[[Kategoria:Teoria sterowania]]