Tekst źródłowy strony Wektor jednostkowy

{{Dopracować|źródła=2022-03}}

'''Wersor''' – [[wektor]] o długości jeden<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3994916 | tytuł = wersor | data dostępu = 2024-06-22 }}</ref>, wskazujący kierunek i zwrot pewnego wektora początkowego, któremu ten wersor się przypisuje. Mnożenie wersora przez długość początkowego wektora odtwarza początkowy wektor.

== Definicja formalna ==
Niech <math>(X, \|\cdot\|)</math> będzie [[przestrzeń unormowana|przestrzenią unormowaną]]. '''Wersorem''' <math>x^\circ</math> niezerowego [[wektor]]a <math>x \in X</math> nazywamy wektor
: <math>x^\circ=\frac{x}{\|x\|}.</math>

Oczywiście <math>x^\circ \in \operatorname{lin}(x)</math> oraz <math>\|x^\circ \|=1.</math>

W przestrzeniach współrzędnych wersor danego wektora zachowuje jego kierunek oraz zwrot.

== Wersor osi ==
'''Wersorem osi''' nazywamy wektor długości (normie) 1 o kierunku i zwrocie zgodnym z pewną dodatnią [[oś współrzędnych|półosią]] [[układ współrzędnych kartezjańskich|prostokątnego układu współrzędnych]]. Dla osi <math>OX, OY, OZ</math> oznacza się je tradycyjnie na kilka sposobów:
* symbolami <math>i, j, k,</math>
* <math>e_1, e_2, e_3,</math>
* <math>e_x, e_y, e_z,</math>
* <math>\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3.</math>

== Przykłady ==
* W [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] <math>\mathbb{R}^3</math> ze zwykłym [[iloczyn skalarny|iloczynem skalarnym]] wersorem wektora <math>\mathbf{x}=\left[\begin{smallmatrix}2\\3\\4\end{smallmatrix}\right]</math> jest wektor <math>\mathbf{x}^\circ=\frac{1}{\sqrt{2^2+3^2+4^2}}\left[\begin{smallmatrix}2\\3\\4\end{smallmatrix}\right]=\left[\begin{smallmatrix}\frac{2}{\sqrt{29}}\\\frac{3}{\sqrt{29}}\\\frac{4}{\sqrt{29}}\end{smallmatrix}\right].</math>
* W przestrzeni <math>\mathbb{R}_2[X]</math> (tj. przestrzeni [[wielomian]]ów [[stopień wielomianu|stopnia]] nie większego niż 2 zmiennej [[liczby rzeczywiste|rzeczywistej]]) z [[iloczyn skalarny|iloczynem skalarnym]] <math>\langle f, g \rangle = \int\limits_{-1}^1f(x)g(x)dx</math> i normą <math>\|f\|=\sqrt{\langle f, f \rangle}</math> wersorem wektora <math>f(X)=X^2+X+1</math> jest wektor
: <math>f^\circ(X)=\frac{X^2+X+1}{\sqrt{\int\limits_{-1}^1(X^2+X+1)(X^2+X+1)dX}}=\frac{X^2+X+1}{\sqrt\tfrac{22}{5}}=\sqrt\tfrac{5}{22}X^2+\sqrt\tfrac{5}{22}X+\sqrt\tfrac{5}{22}.</math>

== Zobacz też ==
{{wikisłownik|wersor}}
* [[ortogonalizacja Grama-Schmidta]]
* [[tensor]]

== Uwagi ==
* [[baza ortonormalna|Baza ortogonalna]] złożona z wersorów jest [[baza ortonormalna|bazą ortonormalną]].
* W fizyce zamiast <math>x^\circ</math> stosuje się zapis <math>\vec{e}_x</math> lub <math>\hat{x}.</math>

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Piotr Stachura, ''[https://www.youtube.com/watch?v=WcoiuCQagi4 Wektory jednostkowe]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]], 23 sierpnia 2016 [dostęp 2024-06-22].

{{Algebra liniowa}}

[[Kategoria:Wektory]]