Tekst źródłowy strony Własność Radona-Nikodýma

'''Własność Radona-Nikodýma''' – własność [[przestrzeń Banacha|przestrzeni Banacha]], która pozwala na rozszerzenie klasycznego [[twierdzenie Radona-Nikodýma|twierdzenia Radona-Nikodýma]] na [[miara wektorowa|miary wektorowe]] o wartościach w danej przestrzeni. Klasa przestrzeni Banacha mających własność Radona-Nikodýma pozwala na przeniesienie klasycznych twierdzeń dotyczących różniczkowania (jak, na przykład, [[twierdzenie Rademachera]]) na funkcje o wartościach wektorowych.

== Definicja ==
Niech <math>X</math> będzie przestrzenią Banacha. Przestrzeń <math>X</math> ma '''własność Radona-Nikodýma''' względem [[Przestrzeń mierzalna|przestrzeni z miarą]] (<math>\Omega,</math> <math>\mu</math>), gdy dla każdej [[miara wektorowa|miary wektorowej]] <math>\nu</math> o [[Miara wektorowa|ograniczonym wahaniu]], która jest bezwzględnie ciągła względem <math>\mu</math> istnieje taka funkcja
: <math>g\colon \Omega \to X</math>

[[całka Bochnera|całkowalna w sensie Bochnera]] (nazywana pochodną Radona-Nikodýma miary <math>\nu</math>), że
: <math>\nu(A)=\int\limits_A g(\omega)\mu(\mathrm{d}\omega)</math>

dla każdego <math>\mu</math>-mierzalnego zbioru <math>A.</math> Przestrzeń Banacha ma '''własność Radona-Nikodýma''', gdy ma własność Radona-Nikodýma względem każdej przestrzeni z [[Przestrzeń probabilistyczna|miarą probabilistyczną]]{{odn|Edgar|Sucheston|1992|s=178}}.

=== Własność Radona-Nikodýma przestrzeni ℓ<sub>1</sub> ===
Niech (<math>\Omega,</math> <math>\mu</math>) będzie przestrzenią probabilistyczną oraz niech <math>\nu</math> będzie miarą wektorową o wartościach w [[przestrzeń l1|przestrzeni ℓ<sub>1</sub>]], która jest bezwzględnie ciągła względem <math>\mu,</math> tj. dla wszelkich zbiorów <math>\mu</math>-mierzalnych <math>A</math> zachodzi warunek
: <math>\|\nu(A)\|\leqslant \mu(A).</math>

Ponieważ elementami przestrzeni ℓ<sub>1</sub> są ciągi, można zapisać
: <math>\nu(A) = \big( \nu_1(A), \nu_2(A), \nu_3(A), \dots \big).</math>

Każda z miar skalarnych <math>\nu_i</math> jest bezwzględnie ciągła względem <math>\mu,</math> więc w przypadku każdej z nich stosuje się twierdzenie Radona-Nikodýma, tj. istnieją funkcje całkowalne
: <math>g_i\colon \Omega \to \mathbb C</math>

o tej własności, że
: <math>\nu_i(A)=\int\limits_A g_i(\omega)\mu(\mathrm{d}\omega).</math>

Funkcja
: <math>g(\omega) = \big(g_1(\omega), g_2(\omega), \dots \big)</math>

przyjmuje wartości w ℓ<sub>1</sub> dla prawie wszystkich <math>\omega</math> oraz jest pochodną Radona-Nikodýma <math>\nu.</math>{{odn|Edgar|Sucheston|1992|s=181}}

== Charakteryzacja przez funkcje lipschitzowskie ==
Niech <math>X</math> będzie przestrzenią Banacha. Wówczas ma ona własność Radona-Nikodýma wtedy i tylko wtedy, gdy każda [[Warunek Lipschitza|funkcja lipschitzowska]]
: <math>f\colon [0,1]\to X</math>

jest [[funkcja różniczkowalna|różniczkowalna]] [[Zbiór miary zero|prawie wszędzie]].

=== <math>L_1</math> nie ma własności Radona-Nikodýma ===
Używając powyższej charakteryzacji można wykazać, że przestrzeń <math>L_1 [0,1]</math> nie ma własności Radona-Nikodýma. Istotnie, funkcja
: <math>f\colon [0,1]\to L_1[0,1]</math>

dana wzorem
: <math>f(t)=\mathsf{1}_{[0,t]}\quad (t\in [0,1])</math>

spełnia warunek Lipschitza, ponieważ jest [[izometria|izometrią]]. Dla
: <math>0\leqslant s<t<1</math>

wyrażenie
: <math>\frac{f(t)-f(s)}{t-s}=\frac{\mathsf{1}_{(s,t]}}{t-s}</math>

ma normę 1, a więc nie jest zbieżne do 0 przy żadnym ustalonym <math>s</math> oraz <math>t \to s</math>{{odn|Preiss|Lindenstrauss|Tišer|2012|s=13}}.

== Twierdzenie Lindenstraussa ==
[[Joram Lindenstrauss]] udowodnił, że każdy niepusty, [[zbiór domknięty|domknięty]] i [[zbiór wypukły|wypukły]] [[podzbiór]] przestrzeni mającej własność Radona-Nikodýma ma [[punkt ekstremalny]]{{odn|Diestel|Uhl|1977|s=190}}.

== Przykłady ==
Wszystkie wymienione niżej klasy przestrzeni Banacha mają własność Radona-Nikodýma:
* [[przestrzeń refleksywna|przestrzenie refleksywne]],
* [[przestrzeń ośrodkowa|przestrzenie ośrodkowe]] będące [[przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|przestrzeniami sprzężonymi]]; ogólniej, podprzestrzenie [[przestrzeń WCG|przestrzeni WCG]] będące przestrzeniami sprzężonymi pewnych przestrzeni,
* [[przestrzeń jednostajnie wypukła|przestrzenie lokalnie jednostajnie wypukłe]] będące przestrzeniami sprzężonymi,
* przestrzenie słabo lokalnie jednostajnie wypukłe będące przestrzeniami sprzężonymi pewnych przestrzeni,
* przestrzenie sprzężone przestrzeni, w których norma jest funkcją [[Pochodna Frécheta|różniczkowalną w sensie Frécheta]],
* przestrzeń <math>\ell_1(\Gamma),</math> gdzie <math>\Gamma</math> jest dowolnym zbiorem,
* [[przestrzeń Hardy'ego|przestrzenie Hardy’ego]],
* przestrzeń szeregów bezwarunkowo zbieżnych w <math>X</math> dla przestrzeni <math>X</math> mających własność Radona-Nikodýma,
* przestrzeń <math>L_p(\mu, X),</math> gdy <math>X</math> ma własność Radona-Nikodýma.

Wymienione niżej przestrzenie '''nie''' mają własności Radona-Nikodýma:
* przestrzenie <math>c, c_0, \ell_\infty, L_\infty([0,1]),</math>
* przestrzenie [[Operator zwarty|operatorów zwartych]] i przestrzenie operatorów liniowych i ciągłych na <math>X,</math> gdy <math>X=L_p</math> lub <math>X=c_0.</math>

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko= Diestel |imię= Joseph |nazwisko2 = Uhl |imię2= John Jerry (Jr.) |tytuł= Vector Measures |rok= 1977 |wydawca= American Mathematical Society |miejsce= Rhode Island |strony= |odn= tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko= Edgar |imię= G.A. |nazwisko2 = Sucheston |imię2= Louis |tytuł= Stopping Times and Directed Processes |rok= 1992 |wydawca= Cambridge University Press |miejsce= Cambridge |seria = Encyclopedia of Mathematics and its Applications (47) |strony= |odn= tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko= Preiss |imię= David |autor link= David Preiss |nazwisko2 = Lindenstrauss |imię2= Joram |autor link2= Joram Lindenstrauss |nazwisko3 = Tišer |imię3= Jaroslav |tytuł= Frechet Differentiability of Lipschitz Functions and Porous Sets in Banach Spaces |rok= 2012 |wydawca= Princeton University Press |seria= Annals of Mathematics Studies |strony= |odn= tak}}

[[Kategoria:Miary wektorowe]]
[[Kategoria:Przestrzenie Banacha]]