Tekst źródłowy strony Uogólnianie typu indukcyjnego

{{główny artykuł|Uogólnianie matematyczne}}
'''Uogólnianie typu indukcyjnego''' – w [[dydaktyka matematyki|dydaktyce matematyki]] jest [[uogólnianie matematyczne|uogólnianiem]] twierdzeń lub rozumowań, [[wnioskowanie empiryczne|wnioskowaniem empirycznym]]<ref name="Z" /><ref name="Za" />, rozumianym jako proces odkrywania praw ogólnych na podstawie kilku przypadków szczególnych i poszukiwaniu dla nich wspólnego schematu<ref name="K" /><ref name="P" />. Od [[empiryzm w przyrodzie|empiryzmu w przyrodzie]] różni się tym, że przypadki szczególne dotyczą ściśle [[matematyka|matematyki]]<ref name="Z" />.

Teza stawiana na drodze uogólniania typu indukcyjnego stanowi ogólniejszą wersję twierdzeń, na podstawie których została sformułowana (tzn. każde z twierdzeń można otrzymać z ogólnej tezy na drodze [[specyfikacja twierdzenia matematycznego|specyfikacji]]), lecz sam ten fakt nie gwarantuje jeszcze prawdziwości stawianej hipotezy<ref name="K" /> (por. przykład 2). Prawdziwość matematyczną hipotezy należy zweryfikować<ref name="K" />.

Badania wykazują, że zdolni uczniowie często stosują próby uogólniania typu indukcyjnego w sposób spontaniczny<ref name="K" />. [[Zofia Krygowska|Anna Zofia Krygowska]] postuluje, by słabszym uczniom sugerować uogólnianie typu indukcyjnego i metodami heurystycznymi pomagać im w dostrzeżeniu ogólniejszych schematów widocznych w kilku szczególnych twierdzeniach matematycznych<ref name="K" />.

== Przykłady ==
=== Przykład 1 ===
{{Cytat
 |treść =
Uczeń ma obliczyć sumę

<math>S_n=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\ldots +\frac{1}{(n-1)\cdot n}.</math>

Zaczyna rozumowanie od obliczenia pierwszych trzech wyrazów ciągu <math>S_n.</math> Otrzymuje:

<math>S_1=\frac{1}{2},\ \ S_2=\frac{2}{3},\ \ S_3=\frac{3}{4}.</math>

Są to trzy szczególne twierdzenia. Uczeń zauważa, że te równości można otrzymać z równości:

<math>S_n=\frac{n}{n+1}</math>

odpowiednio przed podstawienie <math>n=1,\ n=2,\ n=3.</math> Twierdzenie

<math>\forall_{n\in\mathbb{N}}\ S_n=\frac{n}{n+1}</math>

jest twierdzeniem ogólniejszym od każdego z trzech wymienionych twierdzeń, bo każde z nich można otrzymać z tego twierdzenia przez [[specyfikacja twierdzenia matematycznego|specyfikację]]. Każde z tych trzech twierdzeń szczególnych jest twierdzeniem prawdziwym, tego jesteśmy pewni, twierdzenie ogólne natomiast jest w tej fazie jeszcze tylko hipotezą, której słuszność trzeba zbadać<ref name="K" />
 |styl = środek
}}

=== Przykład 2 ===
{{Cytat
 |treść =
Obliczyć wartość funkcji <math>n\to f(n)=n^2-n+41</math> określonej w zbiorze liczb naturalnych dla liczb pierwszej dziesiątki. Uzupełnić zapisy: <math>f(1)=...,</math> <math>f(2)=...,</math> <math>f(3)=...,</math> <math>f(4)=...,</math> <math>f(5)=...,</math> <math>f(6)=...,</math> <math>f(7)=...,</math> <math>f(8)=...,</math> <math>f(9)=...,</math> <math>f(10)=...</math>

Jakimi liczbami są otrzymane wartości tej funkcji?<ref name="S" />
 |styl = środek
}}

Uczeń zauważy, że otrzymane liczby są [[Liczby pierwsze|pierwsze]], przez co postawi (błędną) hipotezę, że wartości tej funkcji są zawsze liczbami pierwszymi<ref name="Zar" />, a fałszywość tej hipotezy uczeń będzie musiał odkryć, stosując właściwą weryfikację matematyczną<ref name="K" />.

== Przypisy ==
{{Przypisy|
<ref name="Z">Lidia Zaręba, ''Matematyczne uogólnianie. Możliwości uczniów i praktyka nauczania'', Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012, ISSN 0239-6025, {{ISBN|978-83-7271-713-9}}, s. 39–40.</ref>
<ref name="Za">Lidia Zaręba, ''Matematyczne uogólnianie. Możliwości uczniów i praktyka nauczania'', Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012, ISSN 0239-6025, {{ISBN|978-83-7271-713-9}}, s. 33.</ref>
<ref name="Zar">Lidia Zaręba, ''Matematyczne uogólnianie. Możliwości uczniów i praktyka nauczania'', Wydawnictwo Naukowe Uniwersytetu Pedagogicznego, Kraków 2012, ISSN 0239-6025, {{ISBN|978-83-7271-713-9}}, s. 28.</ref>
<ref name="P">[[George Pólya]], ''Jak to rozwiązać'', PWN, Warszawa, 1993, s. 113.</ref>
<ref name="K">[[Zofia Krygowska|Anna Zofia Krygowska]], ''Zarys dydaktyki matematyki cz.3'', WSiP, Warszawa 1977, s. 112–113.</ref>
<ref name="S">Helena Siwek, ''Rozumowanie intuicyjne, empiryczne i formalne w nauczaniu matematyki'', Oświata i Wychowanie, Wersja B, nr 9, 1985, s. 44.</ref>
}}

[[Kategoria:Dydaktyka matematyki]]
[[Kategoria:Hasła rozbudowane w ramach akcji Wikipedia na zastępstwie]]