Tekst źródłowy strony Twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie

'''Twierdzenie o dwusiecznej kąta zewnętrznego w trójkącie''' – twierdzenie [[geometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]].

== Twierdzenie ==
[[Plik:Tw kat zew1.svg|frameless|right|400px]]

Niech <math>A, B, C</math> będą wierzchołkami wyjściowego [[trójkąt]]a, <math>CZ</math> jest [[dwusieczna kąta|dwusieczną kąta]] zewnętrznego.
Wówczas<ref name="wpm">{{otwarty dostęp}} ''[http://www.matematyka.wroc.pl/leksykonmatematyczny/dwusieczna Dwusieczna kąta. Podstawowe twierdzenia]'', Wrocławski Portal Matematyczny, matematyka.wroc.pl, 17 września 2018 [dostęp 2024-10-06].</ref>:
: <math>\frac {AC} {BC} = \frac {AZ} {BZ}.</math>

=== Dowód 1 ===
Wprowadzono oznaczenia:
: <math>X</math> – taki punkt <math>X</math> na <math>AC,</math> że <math>\Delta XCB</math> jest równoramienny: <math>XC = CB,</math>

: <math>Y</math> – taki punkt <math>Y</math> na <math>CZ,</math> że <math>\angle CYB = \angle CXB = \angle CBX,</math> czyli <math>XC = CB = BY.</math>

Trójkąt <math>\Delta BYZ</math> jest podobny do <math>\Delta ACZ</math> stąd:
[[Plik:Tw kat zew2.svg|frameless|right|400px]]
: <math>\frac {AZ} {BZ} = \frac {AC} {BY},</math>

czyli
: <math>\frac {AZ} {BZ} = \frac {AC} {BC},</math> &ensp; co należało dowieść.

=== Dowód 2 ===
Postępuje się analogicznie, jak w dowodzie [[Twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie|twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego]] poprzez pola trójkątów. Wystarczy zauważyć, że:
: <math>\sin \angle BCZ = \sin \angle ACZ.</math>

== Zobacz też ==
* [[twierdzenie o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Henryk Dąbrowski, ''[https://zpe.gov.pl/a/przeczytaj/DryPkwVVx Twierdzenie o dwusiecznej kąta w trójkącie]'', Zintegrowana Platforma Edukacyjna – [[Ministerstwo Edukacji Narodowej]], zpe.gov.pl [dostęp 2024-10-06].

[[Kategoria:Twierdzenia o trójkącie|O kącie zewnętrznym]]