Tekst źródłowy strony Twierdzenie Zsigmondy’ego

'''Twierdzenie Zsigmondy’ego'''<ref>{{Cytuj |autor = Jakub Byszewski |tytuł = Lemat o podnoszeniu wykładnika oraz twierdzenie Zsigmondy’ego |data dostępu = 2024-02-11 |opis = Jagiellońskie Warsztaty Olimpijskie |s = 2 |url = https://satori.tcs.uj.edu.pl/view/Subpage/6401343/content_files/Jakub_Byszewski_JWO.pdf/Jakub_Byszewski_JWO.pdf |język = pl}}</ref><ref>{{Cytuj |autor = Marcin Emil Kuczma |tytuł = Podsumowanie ligi zadaniowej Klub 44M |czasopismo = Delta |data = 02-2020 |issn = 0137-3005 |s = 20 |opublikowany = Uniwersytet Warszawski |url = https://www.deltami.edu.pl/2020/02/klub-44/ |język = pl |dostęp = o}}</ref> {{fakt|data=2025-03|znane również jako '''Twierdzenie Gonga'''|2024-03}}, twierdzenie w [[Teoria liczb|teorii liczb]] dostarczające informacji o [[dzielnik]]ach [[Liczby pierwsze|pierwszych]] różnicy ''n''-tych potęg [[Liczby względnie pierwsze|względnie pierwszych]] liczb naturalnych. Twierdzenie to zostało udowodnione przez [[Austro-Węgry|austro-węgierskiego]] matematyka Karla Zsigmondy’ego w 1892 roku<ref>{{Cytuj |autor = K. Zsigmondy |tytuł = Zur Theorie der Potenzreste |czasopismo = Monatshefte für Mathematik und Physik |data = 1892-12-01 |issn = 1436-5081 |wolumin = 3 |numer = 1 |s = 265–284 |doi = 10.1007/BF01692444 |język = de}}</ref>.

Twierdzenie Zsigmondy’ego znajduje zastosowanie m.in. w [[Teoria grup|teorii grup]], gdzie jest wykorzystywane, by wykazać, że pewne grupy mają różny [[Rząd (teoria grup)|rząd]]<ref name=":0">{{Cytuj |autor = Eric W. Weisstein |tytuł = Zsigmondy Theorem |data dostępu = 2024-02-11 |opublikowany = Wolfram MathWorld |url = https://mathworld.wolfram.com/ZsigmondyTheorem.html |język = en |dostęp = o}}</ref><ref>{{Cytuj |autor = Emil Artin |tytuł = The orders of the linear groups |czasopismo = Communications on Pure and Applied Mathematics |data = 1955-08 |data dostępu = 2024-02-11 |issn = 0010-3640 |wolumin = 8 |numer = 3 |s = 355–365 |doi = 10.1002/cpa.3160080302 |url = https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/cpa.3160080302 |język = en}}</ref>.

== Twierdzenie<ref name=":0" /><ref name=":1">{{Cytuj |autor = Adam Neugebauer |tytuł = Algebra i teoria liczb |data = 2020 |isbn = 9788372677105 |wydawca = Wydawnictwo Szkolne OMEGA |s = 191–195 |seria = Matematyka Olimpijska |język = pl}}</ref> ==
Niech <math>a</math> i <math>b</math> będą względnie pierwszymi liczbami całkowitymi oraz <math>a>b\geqslant1.</math> Wówczas dla każdej liczby całkowitej <math>n \geqslant 1</math> liczba <math>a^n - b^n</math> ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy <math>p,</math> który nie dzieli żadnej z liczb <math>a^k - b^k</math> dla <math>n > k \geqslant 1,</math> chyba że ma miejsce jeden z poniższych wyjątków:
* <math>n=1</math> oraz <math>a - b = 1;</math> wtedy liczba <math>a^n - b^n = 1</math> oczywiście nie ma żadnych dzielników pierwszych,
* <math>n = 2</math> oraz <math>a + b</math> jest [[Potęga dwójki|potęgą dwójki]]; wtedy liczby <math>a^2 - b^2</math> i <math>a - b</math> są obie [[Parzystość liczb|parzyste]], ponadto każdy nieparzysty dzielnik pierwszy liczby <math>a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)</math> dzieli również <math>a - b,</math>
* <math>n = 6, a = 2, b = 1;</math> wówczas łatwo sprawdzić, że liczba <math>2^6 - 1 = 63 = 3^2\cdot7</math> nie ma nowych dzielników pierwszych, ponieważ <math>2^2 - 1 = 3</math> oraz <math>2^3 - 1 = 7.</math>

== Wersja z dodawaniem<ref name=":1" /> ==
Gdy <math>a, b \in \mathbb{Z}</math> są różne i względnie pierwsze oraz <math>n \geqslant 1</math> jest dowolną liczbą całkowitą, to poza wyjątkiem <math>a = 2, b = 1, n = 3</math> liczba <math>a^n + b^n</math> ma co najmniej jeden dzielnik pierwszy <math>p,</math> który nie dzieli żadnej z liczb <math>a^k + b^k</math> dla <math>n > k \geqslant 1.</math>

Powyższe twierdzenie jest prostym wnioskiem z twierdzenia Zsigmondy’ego.

=== Dowód ===
Przypadek <math>n = 1</math> jest trywialny.

Dla <math>n \geqslant 2</math> ustalmy liczby <math>a</math> i <math>b,</math> przy czym bez straty ogólności niech <math>a > b.</math> Jeżeli nie zachodzi wspomniany wyjątek, to twierdzenie Zsigmondy’ego gwarantuje istnienie dzielnika pierwszego <math>p</math> liczby <math>a^{2n} - b^{2n}</math> takiego, że <math>p \nmid a^k - b^k</math> dla <math>k < 2n.</math> Wówczas <math>p</math> dzieli liczbę
: <math>a^{2n} - b^{2n} = (a^n - b^n)(a^n + b^n),</math>

jednak nie dzieli <math>a^n - b^n.</math> Stąd <math>p \mid a^n + b^n.</math> Załóżmy teraz, że <math>p \mid a^k + b^k</math> dla pewnego <math>k < n.</math> Wówczas <math>p \mid a^{2k} - b^{2k},</math> co wobec nierówności <math>2k < 2n</math> jest sprzeczne z definicją liczby <math>p.</math> Zatem niemożliwe jest, by <math>p \mid a^k + b^k</math> dla <math>k < n.</math> To kończy dowód.

== Zobacz też ==
* [[lemat o zwiększaniu wykładnika p-adycznego]]
* [[liczby Mersenne’a]]
* [[wielomian cyklotomiczny]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Twierdzenia o liczbach pierwszych]]