Tekst źródłowy strony Twierdzenie Weierstrassa o kresach

{{inne znaczenia|twierdzenia o funkcjach ciągłych i ich ekstremach|[[Twierdzenie Weierstrassa|inne twierdzenia nazwane nazwiskiem Weierstrassa]]}}
[[Plik:Das Fotoalbum für Weierstraß 051.jpg|mały|[[Karl Weierstraß]] (1815–1897)]]

'''Twierdzenie Weierstrassa o kresach'''{{odn|Przymusiński|1995|s=201}} ([[#Nazewnictwo|znane też pod innymi nazwami]]) – twierdzenie [[Analiza matematyczna|analizy matematycznej]] i [[Topologia|topologii]] o własnościach [[Funkcja ciągła|ciągłych]] [[Funkcja rzeczywista|funkcji rzeczywistych]]. W najprostszym przypadku jest to fakt [[Analiza rzeczywista|analizy rzeczywistej]] o takich funkcjach na domkniętych i ograniczonych [[Przedział (matematyka)|przedziałach rzeczywistych]]; mówi, że funkcje te mają [[Ekstremum|globalne ekstrema]] – wartości najwyższą i najniższą, inaczej maksimum i minimum<ref name="ka" />. Twierdzenia Weierstrassa o kresach używa się w [[Dowód (matematyka)|dowodach]] innych faktów analizy rzeczywistej jak [[twierdzenie Rolle’a]]{{odn|Strzelecki|2018|s=126}}. 

Przedziały [[Zbiór domknięty|domknięte]] i [[Zbiór ograniczony|ograniczone]] są [[Przestrzeń ciągowo zwarta|ciągowo zwarte]] na mocy [[Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa|twierdzenia Bolzana-Weierstrassa]] i [[Przestrzeń zwarta|zwarte]] na mocy [[Twierdzenie Heinego-Borela|twierdzenia Heinego-Borela]]. Powyższe twierdzenie Weierstrassa o kresach ma [[Uogólnienie|uogólnienia]] opisujące funkcje ciągłe na innych zbiorach zwartych, rozważanych w:
* dowolnych [[Przestrzeń euklidesowa|przestrzeniach euklidesowych]]{{odn|Leksiński|Nabiałek|Żakowski|1995|s=113}}{{odn|Wrzosek|2016|s=122}};
* dowolnych innych [[Przestrzeń metryczna|przestrzeniach metrycznych]]<ref>{{otwarty dostęp}} [[Rafał Czyż]], [[Leszek Gasiński]], [[Marta Kosek]], Jerzy Szczepański, [[Halszka Tutaj-Gasińska]], ''[https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_2/Wyk%C5%82ad_6:_Ci%C4%85g%C5%82o%C5%9B%C4%87_funkcji_wielu_zmiennych._Pochodne_cz%C4%85stkowe._Gradient Analiza matematyczna 2, wykład 6: Ciągłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne cząstkowe. Gradient]'', wazniak.mimuw.edu.pl, 17 maja 2024 [dostęp 2024-07-09].</ref>;
* dowolnych innych [[Przestrzeń topologiczna|przestrzeniach topologicznych]]{{odn|Przymusiński|1995|s=201}}{{odn|Smoluk|2017|s=34}}. Ta postać jest też znana jako '''uogólnione twierdzenie Weierstrassa'''{{odn|Kuratowski|1972|s=197}}.

Nazwa upamiętnia niemieckiego [[matematyk]]a z [[XIX wiek]]u: [[Karl Weierstraß|Karla Weierstrassa]]{{odn|Wrzosek|2016|s=122}}.

== Nazewnictwo ==
Fakt ten jest też znany jako twierdzenie:
* Weierstrassa<ref>{{otwarty dostęp}} Michał Bełdziński, ''[https://zpe.gov.pl/a/przeczytaj/D18YnQ3kV Twierdzenie Weierstrassa]'', Zintegrowana Platforma Edukacyjna – [[Ministerstwo Edukacji Narodowej]], zpe.gov.pl [dostęp 2024-07-09].</ref><ref>{{otwarty dostęp}} [[Rafał Czyż]], [[Leszek Gasiński]], [[Marta Kosek]], Jerzy Szczepański, [[Halszka Tutaj-Gasińska]], ''[https://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?title=Analiza_matematyczna_1/Wyk%C5%82ad_8:_Granica_i_ci%C4%85g%C5%82o%C5%9B%C4%87_funkcji#Twierdzenie_Weierstrassa Analiza matematyczna 1, wykład 8: Granica i ciągłość funkcji, 8. Twierdzenie Weierstrassa]'', wazniak.mimuw.edu.pl, 17 maja 2024 [dostęp 2024-07-09].</ref>{{odn|Szymczyk|Rabiej|Pielesz|Desselberger|2001|s=84}};
* Weierstrassa o osiąganiu kresów<ref>{{otwarty dostęp}} Anna Barbaszewska-Wiśniowska, ''[https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/handbook/5/module/81/reader Ciągłość funkcji jednej zmiennej rzeczywistej. Własności funkcji ciągłych]'', serwis Open AGH, [[Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie]], epodreczniki.open.agh.edu.pl [dostęp 2024-07-09].</ref>{{odn|Leksińska|Leksiński|1978|s=111}}{{odn|Leksiński|Nabiałek|Żakowski|1995|s=113}};
* Weierstrassa o przyjmowaniu kresów{{odn|Strzelecki|2018|s=92}}{{odn|Krych|2010|s=119}};
* Weierstrassa o ekstremach globalnych{{odn|Rudnicki|2006|s=534, 535}};
* Weierstrassa o funkcji ciągłej na przedziale domkniętym<ref name="ka">{{otwarty dostęp}} Szymon Charzyński, ''[https://www.youtube.com/watch?v=yuxvS4m3JkA Twierdzenie Weierstrassa o funkcji ciągłej na przedziale domkniętym]'', kanał [[Khan Academy]] na [[YouTube]], 3 maja 2014 [dostęp 2024-07-09].</ref>;
* o najmniejszej i największej wartości funkcji{{odn|Banach|1957|s=296}}.

Bywa też wykładany bez osobnej nazwy{{odn|Leja|1963|s=57}}.

== Przypadek zmiennej rzeczywistej ==
[[Plik:Extreme Value Theorem.svg|mały|[[Wykres]] przedstawia [[Funkcja ciągła|ciągłą]] funkcję <math>f</math> określoną na [[Przedział (matematyka)|przedziale domkniętym]] <math>[a,b].</math> Twierdzenie Weierstrassa o&nbsp;kresach mówi, że w tym przedziale istnieją [[Ekstremum funkcji|ekstrema globalne]], czyli maksimum i&nbsp;minimum, oznaczone odpowiednio <math>c, d.</math>]]
=== Twierdzenie ===
Jeśli [[funkcja rzeczywista]] <math>f: [a,b] \to \mathbb R</math> jest [[Funkcja ciągła|ciągła]], to:
# jej [[Obraz (matematyka)|obraz]] jest [[Zbiór ograniczony|ograniczony]];
# funkcja ta osiąga swoje [[Kresy dolny i górny|kresy]], tzn. ma [[Ekstremum funkcji|globalne minimum i maksimum]]:
:: <math>\exist c,d\in [a,b]\ \forall x \in [a,b]: f(d) \leqslant f(x) \leqslant f(c).</math>

=== Dowód ===
# Każdy z przedziałów <math>(-M,M),</math> dla <math>M\in\mathbb R,</math> jest [[Zbiór otwarty|zbiorem otwartym]], a <math>f</math> jest [[funkcja ciągła|ciągła]], więc ich [[przeciwobraz]]y <math>f^{-1}[(-M,M)]</math> też są otwarte (w [[Topologia podprzestrzeni|zbiorze]] <math>[a,b]</math>).  Rodzina <math>\{f^{-1}[(-M,M)]:M\in\mathbb R\}</math> pokrywa przedział <math>[a,b],</math> więc ze [[Przestrzeń zwarta|zwartości]] tego ostatniego istnieje [[Pokrycie zbioru|podpokrycie]] skończone – istnieją <math>M_1,\dots,M_s>0,</math> dla których <math>[a,b]=f^{-1}[(-M_1,M_1)]\cup\ldots\cup f^{-1}[(-M_s,M_s)].</math> Wówczas dla dowolnego <math>x\in[a,b]</math> mamy <math>-M\leqslant f(x)\leqslant M,</math> gdzie <math>M=\max\{M_1,\dots,M_S\},</math> co oznacza, że <math>f</math> jest funkcją ograniczoną.
# Oznaczmy [[Kresy dolny i górny|kres górny]] obrazu <math>f</math> przez <math>\tilde{d}.</math> <math>\tilde{d}\in\mathbb R</math> i istnieje ciąg <math>(d_n)_{n=0}^\infty</math> punktów przedziału <math>[a,b]</math> dla których ciąg <math>f(d_n)</math> jest zbieżny do <math>\tilde{d}.</math> Z [[Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa|twierdzenia Bolzana-Weierstrassa]] wiemy, że istnieje podciąg <math>(d_{n_k})_{k=0}^\infty</math> ciągu <math>(d_n)_{n=0}^\infty</math> zbieżny do pewnej granicy <math>d.</math> Wtedy na mocy ciągłości funkcji <math>f</math> otrzymujemy <math>f({d}) = \lim_{k \to \infty} f(d_{n_k}) = \tilde{d}.</math> A więc wartość funkcji <math>f</math> w punkcie <math>{d}\in [a,b]</math> jest kresem górnym obrazu <math>f</math> (a więc także <math>f(x)\leqslant f(d)</math> dla wszystkich <math>x\in [a,b]</math>). W analogiczny sposób pokazujemy istnienie liczby <math>c,</math> dla której <math>f({c})=\inf\{f(x):a\leqslant x\leqslant b\}.</math>

=== Analiza założeń ===
[[Plik:Tangent one period.svg|mały|[[Funkcje trygonometryczne|Funkcja tangens]] na [[Przedział (matematyka)|przedziale ograniczonym]] <math>\big(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\big)</math> jest [[Funkcja ciągła|ciągła]] i&nbsp;nie jest na nim [[Funkcja ograniczona|ograniczona]]. Ograniczenie [[Obraz (matematyka)|obrazu]] funkcji jest [[Implikacja materialna|gwarantowane]] tylko przy dodatkowym założeniu, że przedział, na którym funkcja jest ciągła, jest także domknięty{{odn|Strzelecki|2018|s=93}}.]]

Oba założenia o [[Dziedzina (matematyka)|dziedzinie]] funkcji – czyli że [[odcinek]] <math>[a,b]</math> jest [[Przedział (matematyka)|domknięty]] i [[Przedział (matematyka)|ograniczony]] – są istotne{{odn|Strzelecki|2018|s=93}}. Na przykład:
* funkcja <math>f\colon (0,1]\ni x \mapsto 1/x \in\mathbb{R}</math> jest ciągła, ale nie jest ograniczona;
* podobnie <math>f\colon \mathbb{R}\ni x \mapsto e^x\in \mathbb{R}</math> nie jest ograniczona, mimo że dziedzina – cała prosta – jest domknięta.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
; Książki publikowane drukiem
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Banach |imię = Stefan |autor link = Stefan Banach |tytuł = Rachunek różniczkowy i całkowy |wydanie = VI |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |rok = 1957 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Krych |imię = Michał |tytuł = Analiza matematyczna dla ekonomistów |wydanie = I |wydawca = [[Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego]] |miejsce = Warszawa |rok = 2010 |isbn = 978-83-235-0776-5 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Kuratowski |imię = Kazimierz |autor link = Kazimierz Kuratowski |tytuł = Wstęp do teorii mnogości i topologii |miejsce = Warszawa |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |wydanie = 5 |rok = 1972 |seria = [[Biblioteka Matematyczna]] |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Leja |imię = Franciszek |autor link = Franciszek Leja |tytuł = Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych |wydanie = VI |miejsce = Warszawa |rok = 1963 |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |seria = [[Biblioteka Matematyczna]], tom 2 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Leksińska |imię = Anna |nazwisko2 = Leksiński |imię2 = Wacław |tytuł = Elementy matematyki wyższej |seria = Matematyka dla politechnik |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |rok = 1978 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Leksiński |imię = Wacław |nazwisko2 = Nabiałek |imię2 = Ireneusz |nazwisko3 = Żakowski |imię3 = Wojciech |autor link3 = Wojciech Żakowski |tytuł = Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania |wydanie = V |wydawca = [[Wydawnictwa Naukowo-Techniczne]] |miejsce = Warszawa |rok = 1995 |seria = Podręczniki akademickie: elektronika, informatyka, telekomunikacja |isbn = 83-204-1892-5 |odn = tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Przymusiński |imię = Teodor |tytuł = Topologia ogólna ''[w:]'' Leksykon matematyczny |wydawca = [[Wydawnictwo „Wiedza Powszechna”]] |miejsce = Warszawa |rok = 1995 |isbn = 83-214-0783-8 |odn = tak}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Rudnicki |imię = Ryszard | autor link = Ryszard Rudnicki |tytuł = Wykłady z analizy matematycznej | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] | miejsce = Warszawa | rok = 2006 | isbn = 978-83-01-14946-8 | odn = tak }}
* {{Cytuj książkę | imię = Antoni | nazwisko = Smoluk | tytuł = Analiza matematyczna | wydawca = Wydawnictwo [[Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu|Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu]] | miejsce = Wrocław | rok = 2017 | isbn = 978-83-7695-634-3 | odn = tak}}
* {{Cytuj książkę | nazwisko = Szymczyk | imię = Tomasz | nazwisko2 = Rabiej | imię2 = Stanisław | nazwisko3 = Pielesz | imię3 = Anna | autor link3 = Anna Pielesz | nazwisko4 = Desselberger | imię4 = Jan | tytuł = Tablice matematyczne, fizyczne, chemiczne, astronomiczne | wydawca = PPU Park | miejsce = [[Bielsko-Biała]] | rok = 2001 | isbn = 83-7266-054-9 | odn = tak }}
* {{Cytuj książkę |nazwisko = Wrzosek |imię = Dariusz |autor link = Dariusz Wrzosek |tytuł = Matematyka dla biologów |wydanie = II, zmienione |wydawca = [[Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego]] |miejsce = Warszawa |rok = 2016 |isbn = 978-83-235-0460-3 |odn = tak}}

; Dokumenty cyfrowe
* {{Cytuj |autor = [[Paweł Strzelecki (matematyk)|Paweł Strzelecki]] |url = https://www.mimuw.edu.pl/~pawelst/analiza/Analiza_Matematyczna_1/Notatki_itp./Archiwum_files/skryptAM1-2010-11-ver01.010c.pdf |tytuł = Analiza matematyczna I (skrypt wykładu) | opublikowany = mimuw.edu.pl |data = 14 grudnia 2018 |data dostępu = 2024-07-08 |dostęp = o |odn = tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} Alicja Dembczak-Kołodziejczyk, ''[https://zpe.gov.pl/a/przeczytaj/DK1rdxKBM Jak wyznaczyć największą/najmniejszą wartość funkcji?]'', Zintegrowana Platforma Edukacyjna – [[Ministerstwo Edukacji Narodowej]], zpe.gov.pl [dostęp 2024-07-09].
* {{MathWorld | adres = ExtremeValueTheorem | tytuł = Extreme Value Theorem }} [dostęp 2023-08-14].

{{Funkcje ciągłe}}

[[Kategoria:Twierdzenia – analiza rzeczywista]]
[[Kategoria:Twierdzenia topologii]]
[[Kategoria:Funkcje ciągłe]]