Tekst źródłowy strony Twierdzenie Taylora-Proudmana

W mechanice płynów, twierdzenie Taylora-Praudmana<ref>Twierdzenie Taylora-Proudmana było wyprowadzone pierwotnie przez Sydneya Samuela Hougha (1870-1923), matematyka z Cambridge University w czasopiśmie „Phil. Trans. R. Soc. Lond. A” vol. 189, s. 201–257, data: 1897-01-01, w artykule „On the application of harmonic analysis to the dynamical theory of the tides. Part I. On Laplace’s „oscillations of the first species,” and on the dynamics of ocean currents”.</ref> mówi, że przy spełnieniu pewnych warunków (patrz niżej), przepływ w trójwymiarowych układach wirujących redukuje się do przypadku dwuwymiarowego. Owa dwuwymiarowa płaszczyzna jest prostopadła do osi obrotu <math>\mathbf\Omega</math> tzn. gradient pola prędkości przepływu, który jest macierzą, staje się „prostopadły” (tzn. gradient każdej składowej wektora prędkości jest prostopadły) do <math>\mathbf\Omega</math> (czyli iloczyn wektora i macierzy <math>\mathbf\Omega\cdot\nabla \mathbf v = 0</math>).

== Wyprowadzenie ==
Wychodzimy od [[równania Naviera-Stokesa]] (NS) dla układu obracającego się ze stałą [[Prędkość kątowa|prędkością kątową]] <math>\mathbf\Omega \in \mathbb{R}^3{:}</math>
:: <math>\frac{\partial \mathbf v}{\partial t} + \mathbf v\cdot\nabla \mathbf v = -\frac{1}{\varrho}\nabla p + \nu\nabla\cdot\nabla \mathbf v - 2\mathbf\Omega\times \mathbf v - \mathbf\Omega\times (\mathbf\Omega\times \mathbf r) + F,</math>

gdzie:
* <math>\mathbf r \in \mathbb{R}^3</math> – promień (prostopadły do osi obrotu <math>\Omega</math>),
* <math>2\mathbf \Omega\times \mathbf v</math> – człon związany z [[Efekt Coriolisa|siłą Coriolisa]],
* <math>\mathbf \Omega\times (\mathbf\Omega\times \mathbf r)</math> – człon związany z [[Siła bezwładności|siłą bezwładności]],

=== Założenia ===
# <math>\nabla\cdot \mathbf v=0</math> płyn nieściśliwy.
# <math>\frac{\partial \mathbf v}{\partial t} =\mathbf 0</math> [[przepływ stacjonarny]].
# <math>1 \ll |\mathbf\Omega|</math> duża prędkość obrotowa, co implikuje że [[Efekt Coriolisa|siła Coriolisa]] jest względnie duża, a więc człon adwekcyjny <math>\mathbf v\cdot\nabla \mathbf v</math> jest zaniedbywalnie mały (inaczej: [[liczba Rossbiego]] jest mała tj.: <math>0 \leqslant R_o \ll 1</math>).
# <math>F=-\nabla\Phi</math> człon związany z siłami masowymi jest polem potencjalnym o [[potencjał|potencjale]] <math>\Phi:\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}.</math>
# <math>0 \leqslant |\nu\nabla\cdot\nabla \mathbf v| \ll 1</math> [[lepkość]] jest zaniedbywalnie mała (przepływ nielepki).

=== Teza ===
<math>\mathbf\Omega\cdot\nabla \mathbf v = 0</math>

=== Dowód ===
Wykorzystując założenia 2, 3, 5, równanie NS upraszcza się do postaci:
:: <math>\frac{1}{\varrho}\nabla p = F -2\mathbf\Omega\times \mathbf v - \mathbf\Omega\times (\mathbf \Omega\times \mathbf r).</math>

Zauważmy, że (korzystając z własności [[Iloczyn wektorowy|iloczynu wektorowego]]) można przedstawić siłę bezwładności jako gradient pewnego [[Pole skalarne|pola skalarnego]]:
:: <math>\mathbf\Omega\times (\mathbf\Omega\times \mathbf r)=\mathbf \Omega(\mathbf \Omega\cdot \mathbf r)-\mathbf r(\mathbf\Omega\cdot\mathbf\Omega)=\nabla\left(\frac{1}{2}(\mathbf \Omega\cdot \mathbf r)^2-|\mathbf\Omega|^2 \frac{1}{2}|\mathbf r|^2 \right)=\nabla\left(-\frac{1}{2}|\mathbf\Omega\times \mathbf r|^2\right),</math>

gdzie <math>\mathbf\Omega\cdot\mathbf\Omega=|\mathbf\Omega|^2, \mathbf r\cdot\mathbf r=|\mathbf r|^2.</math> Zatem człon związany z siłą bezwładności jest pewnym polem potencjalnym.

Jak wiadomo, [[rotacja]] z pola potencjalnego jest równa zero, w związku z czym, dokonując rotacji dla obydwu stron równania NS, pozbędziemy się członu ciśnienia, [[Siła masowa|sił masowych]](założenie 4) oraz bezwładności – gdyż są to pola potencjalne – i dostaniemy równość:
:: <math>\nabla\times (2\mathbf \Omega\times \mathbf v)=0.</math>

Dzieląc równanie obustronnie przez 2 i rozpisując lewą stronę równania zgodnie z wzorem na [[rotacja|rotację iloczynu wektorowego]], otrzymamy:
:: <math>
\mathbf v \cdot \nabla \mathbf \Omega - \mathbf \Omega \cdot \nabla \mathbf v
+ \mathbf \Omega \nabla \cdot \mathbf v - \mathbf v \nabla \cdot \mathbf \Omega =0.</math>

A ponieważ <math>\mathbf\Omega</math> jest wektorem stałym wiec <math>\nabla \mathbf \Omega=\mathbf 0, \nabla \cdot \mathbf \Omega =0.</math> Uwzględniając ponadto założenie 1, po lewej stronie powyższej równości pozostaje tylko:
:: <math>\mathbf\Omega\cdot\nabla \mathbf v = 0</math>

zatem otrzymaliśmy tezę.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

[[Kategoria:Mechanika płynów]]
[[Kategoria:Twierdzenia fizyki matematycznej]]