Tekst źródłowy strony Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a

'''Twierdzenie Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a''' – jedno z podstawowych [[Twierdzenie|twierdzeń]] w teorii [[Algebra Boole’a|algebr Boole’a]], mówiące, że
: ''Każda algebra Boole’a jest izomorficzna z pewnym [[ciało zbiorów|ciałem zbiorów]] (traktowanym jako algebra Boole’a). Co więcej, ciałem tym jest rodzina [[Zbiór otwarto-domknięty|otwarto-domkniętych]] podzbiorów pewnej [[Przestrzeń zerowymiarowa|zerowymiarowej]] [[przestrzeń zwarta|zwartej]] przestrzeni [[przestrzeń Hausdorffa|Hausdorffa]].''

Twierdzenie udowodnione w [[1936]] roku przez amerykańskiego matematyka [[Marshall Stone|Marshalla Harveya Stone’a]]<ref>[http://web.archive.org/web/20131220191758/http://www.ams.org/journals/tran/1936-040-01/S0002-9947-1936-1501865-8/S0002-9947-1936-1501865-8.pdf Marshall Harvey Stone. ''The theory of representations for Boolean algebras'']. [[Transactions of the American Mathematical Society]] 40 (1936), no. 1, 37-111.</ref>. Twierdzenie to stanowi pomost pomiędzy teorią algebr Boole’a a teorią [[przestrzeń zwarta|zwartych]], [[przestrzeń zerowymiarowa|zerowymiarowych]] [[przestrzeń topologiczna|przestrzeni topologicznych]].

== Uwagi o dowodzie ==
Dowód twierdzenia wymaga pewnej słabej formy [[Aksjomat wyboru|aksjomatu wyboru]] – mianowicie [[twierdzenie o ideale pierwszym|twierdzenia o ideale pierwszym]].

Niech <math>(\mathbb B,+,\cdot,\sim,\mathbf 0, \mathbf 1)</math> będzie algebrą Boole’a.

=== Definicje ===
* Powiemy, że zbiór <math>F\subseteq \mathbb B\setminus\{\mathbf 0\}</math> jest '''[[filtr (matematyka)|filtrem]] na algebrze''' <math>\mathbb B,</math> gdy następujące warunki są spełnione:
: (a) <math>\mathbf 1 \in F,</math>
: (b) jeśli <math>a\in F</math> oraz <math>a\leqslant b\in \mathbb B</math> (czyli <math>a\cdot (\sim b)={\mathbf 0}</math>), to też <math>b\in F,</math>
: (c) jeśli <math>a,b\in F,</math> to również <math>a\cdot b\in F.</math>
* Filtr <math>F</math> na algebrze <math>\mathbb B</math> jest ''[[Filtr (matematyka)|filtrem maksymalnym]]'', jeśli jedynym filtrem zawierającym <math>F</math> jest filtr <math>F.</math> (filtr maksymalny to taki filtr który nie może być rozszerzony do większego filtru). Filtry maksymalne na algebrze <math>\mathbb B</math> są też nazywane '''ultrafiltrami'''. Zbiór wszystkich ultrafiltrów na algebrze <math>\mathbb B</math> jest oznaczany przez <math>\mathrm{Ult}(\mathbb B).</math>
* Dla <math>a\in \mathbb B</math> definiuje się <math>e(a)=\{p\in \mathrm{Ult}(\mathbb B)\colon a\in p\}\subseteq \mathrm{Ult}(\mathbb B).</math>

=== Obserwacje ===
* Niech <math>F\subseteq \mathbb B\setminus\{{\mathbf 0}\}</math> będzie filtrem. Wówczas następujące warunki są równoważne:
: (i) <math>F</math> jest ultrafiltrem,
: (ii) dla każdego elementu <math>a\in \mathbb B,</math> albo <math>a\in F</math> lub <math>\sim a\in F,</math>
: (iii) dla każdych <math>a,b\in \mathbb B,</math> jeśli <math>a+b\in F,</math> to <math>a\in F</math> lub <math>b\in F.</math>
* Każdy filtr <math>F\subseteq \mathbb B\setminus\{{\mathbf 0}\}</math> jest zawarty w pewnym ultrafiltrze (to stwierdzenie wymaga pewnej formy aksjomatu wyboru).
* Dla dowolnych <math>a,b\in \mathbb B</math> mamy, że
: <math>e(a+b)=e(a)\cup e(b),</math> <math>e(a\cdot b)=e(a)\cap e(b)</math> oraz <math>e(\sim a)= \mathrm{Ult}(\mathbb B)\setminus e(a).</math>
* Rodzina <math>\{e(a): a\in \mathbb B\}</math> jest [[Baza przestrzeni topologicznej|bazą]] pewnej topologii <math>\tau_\mathrm{St}</math> na <math>\mathrm{Ult}(\mathbb B).</math> Przestrzeń topologiczna <math>( \mathrm{Ult}(\mathbb B),\tau_\mathrm{St})</math> jest zerowymiarową zwartą przestrzenią T<sub>2</sub> (tę przestrzeń nazywamy '''przestrzenią Stone’a algebry <math>\mathbb B</math>''').
* Odwzorowanie <math>e</math> jest izomorfizmem pomiędzy algebrą <math>\mathbb B</math> a ciałem <math>\mbox{CO(Ult)}(\mathbb{B})</math> otwarto-domkniętych podzbiorów jej przestrzeni Stone’a.

== Dualność ==
Twierdzenie Stone’a może być sformułowane w nieco ogólniejszej formie, która to oddaje dualizm między algebrami Boole’a a zwartymi, zerowymiarowymi przestrzeniami Hausdorffa.

=== Twierdzenie Stone’a o dualności ===
Dla każdej algebry Boole’a <math>\mathbb{B}</math> istnieje izomorfizm
: <math>s_{\mathbb{B}}\colon \mathbb{B}\to \mbox{CO(Ult)}(\mathbb{B}),</math>

przy czym
* dla każdej algebry Boole’a <math>\mathbb{A}</math>
* dla każdego homomorfizmu <math>h\colon \mathbb{B}\to \mathbb{A}</math>

istnieje dokładnie jedna taka [[funkcja ciągła]]
: <math>h^*\colon \mbox{CO(Ult)}(\mathbb{A})\to \mbox{CO(Ult)}(\mathbb{B}),</math>

że
: <math>h=s_{\mathbb{A}}^{-1}\circ h^* \circ s_{\mathbb{B}}.</math>

Ponadto
* jeżeli <math>h^*</math> jest różnowartościowa, to <math>h</math> jest [[epimorfizm]]em,
* jeżeli <math>h^*</math> jest [[Funkcja „na”|„na”]], to <math>h</math> jest [[monomorfizm]]em,
* jeżeli <math>\mathbb{C}</math> jest algebrą Boole’a oraz <math>g\colon \mathbb{C}\to\mathbb{B}</math> jest homomorfizmem, to
: <math>(h\circ g)^* = g^*\circ h^*.</math>

== Zobacz też ==
* [[twierdzenie o reprezentacji algebr Heytinga]]
* [[twierdzenie Sikorskiego]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Błaszczyk |imię = Aleksander |autor link = Aleksander Błaszczyk |nazwisko2 = Turek |imię2 = Sławomir |tytuł = Teoria mnogości |wydawca = PWN |miejsce = Warszawa |rok = 2007 |isbn = 978-83-01-15232-1 |strony = 219, 347}}

{{SORTUJ:Stone’a o reprezentacji algebr Boole’a}}
[[Kategoria:Twierdzenia topologii]]
[[Kategoria:Twierdzenia teorii mnogości]]