Tekst źródłowy strony Twierdzenie Stokesa

[[Plik:Stokes George G.jpg|thumb|[[George Gabriel Stokes]] (1819–1903)]]

'''Twierdzenie Stokesa''' – twierdzenie mówiące, że [[cyrkulacja]] pola wektorowego po zamkniętym i zorientowanym [[Krzywa Jordana|konturze]] gładkim jest równa strumieniowi [[rotacja|rotacji]] pola przez dowolną powierzchnię ograniczoną tym konturem. Twierdzenie to odgrywa ważną rolę w [[teoria pola (fizyka)|teorii pól]]. Używane jest w [[mechanika płynów|mechanice płynów]], [[równania Maxwella|równaniach Maxwella]] i wielu innych. [[Twierdzenie Greena|Twierdzenia Greena]] i [[Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa|Ostrogradskiego-Gaussa]] można traktować jako szczególne przypadki twierdzenia Stokesa<ref name="Jahnke">{{Cytuj książkę |imię=Hans Niels |nazwisko=Jahnke |tytuł = A history of analysis |data = 2003 |data dostępu = 2021-07-19 |isbn = 0-8218-2623-9 |miejsce = Providence, RI |wydawca = [[Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne|American Mathematical Society]] |oclc = 51607350 |strony=207-208}}</ref>.

Twierdzenie Stoksa ma źródła w pracach [[André Ampère|Ampère'a]] z 1826 roku. W jego standardowej postaci została opracowana przez [[William Thomson|Williama Thomsona]] jeszcze przed 1850 rokiem i przekazana [[George Gabriel Stokes|G. G. Stokesowi]], który opublikował je jako problem w egzaminach {{link-interwiki|Nagroda Smitha|Q=Q1690167|tekst=nagrody Smitha}} w 1854 roku. Nie jest wiadome, czy ktoś rozwiązał problem, ale jednym z uczestników był [[James Clerk Maxwell|Maxwell]], to właśnie on uzyskał informacje, że Stokes otrzymał twierdzenie od Thomsona. Pierwszy dowód twierdzenia został opublikowany przez {{link-interwiki|Hermann Hankel|Q=Q61038|tekst=Hermanna Hankela}} w 1861<ref name="Jahnke"/>.

== Twierdzenie Stokesa w przestrzeni <math>\mathbb{R}^3</math> ==
Jeżeli <math>\Sigma</math> jest płatem powierzchni w <math>\mathbb{R}^3,</math> a <math>\partial \Sigma</math> jego gładkim, zorientowanym dodatnio konturem, to dla dowolnego [[pole wektorowe|pola wektorowego]] <math>F \colon= P\vec{i} + Q\vec{j} + R\vec{k},</math> (gdzie <math>F \in C^1(\bar{\Sigma})</math>) mamy<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3979888 | tytuł = Stokesa twierdzenie | data dostępu = 2021-10-02 }}</ref>:
: <math>\oint\limits_{\,\partial \Sigma}\vec{F}d(\vec{\partial \Sigma}) = \iint\limits_\Sigma\operatorname{rot}\vec{F}d\vec{\Sigma}.</math>

=== Dowód ===
Niech <math>\Sigma = \{r(s,t),\, (s,t)\in D\},</math> gdzie <math>r(s,t)=(x(s,t),\,y(s,t),\,z(s,t))</math> oraz <math>r(D) = \Sigma.</math> Wówczas, wykorzystując [[reguła łańcuchowa|regułę łańcuchową]] oraz wzór na [[całka krzywoliniowa|całkę krzywoliniową]] (tu krzywą jest <math>r(s,t)</math>), otrzymujemy równość:
: <math>\oint\limits_{\,\partial \Sigma}Pdx = \oint\limits_{\partial D}(P\circ r)(x'_s ds + x'_t dt).</math>

(Analogiczne wzory zachodzą dla składowych <math>Q</math> i <math>R</math>).

A więc z [[Twierdzenie Greena|twierdzenia Greena]] mamy:
: <math>\oint\limits_{\,\partial \Sigma}Pdx = \iint\limits_D\left(\frac{\partial}{\partial s}((P\circ r)x'_t)-\frac{\partial}{\partial t}((P\circ r)x'_s)\right)ds\,dt.</math>

Po prawej stronie powyższej równości stosujemy wzór na pochodną iloczynu oraz [[reguła łańcuchowa|regułę łańcuchową]] i otrzymujemy:
: <math>\oint\limits_{\,\partial \Sigma}Pdx = \iint\limits_D\left(\frac{\partial P}{\partial y}(x'_t y'_s - x'_s y'_t)+\frac{\partial P}{\partial z}(x'_t z'_s - x'_s z'_t)\right)ds\,dt.</math>

Gdy przeprowadzimy analogiczne rozumowania dla składowych <math>Q</math> i <math>R</math> i wyniki zsumujemy, otrzymamy:
: <math>\oint\limits_{\,\partial \Sigma}\vec{F}d(\vec{\partial \Sigma})=\iint\limits_D(\operatorname{rot}F(s,t))\circ \vec{n}(s,t) ds\,dt,</math>

gdzie <math>\vec{n}(s,t) = r'_s \times r'_t.</math>

Jednak prawa strona powyższego równanie jest strumieniem pola wektorowego <math>\operatorname{rot}F</math> przez płat <math>\Sigma.</math> Co daje tezę.

== Najogólniejsza wersja twierdzenia Stokesa ==
Twierdzenie Stokesa można wypowiedzieć najogólniej dla <math>n</math>-wymiarowych powierzchni gładkich.

Załóżmy, że <math>H\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest orientowalną powierzchnią gładką, <math>K\subseteq H</math> jest [[przestrzeń zwarta|zbiorem zwartym]] oraz <math>K=\operatorname{cl\,Int}K</math> oraz że brzeg <math>\mathrm{Fr}K</math> jest <math>(M\!-\!1)</math>-wymiarową powierzchnią gładką. Jeżeli <math>W\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest [[zbiór otwarty|zbiorem otwartym]] zawierającym powierzchnię <math>H,</math> <math>\Omega\colon W\to S^{M-1}(\mathbb{R}^N, \mathbb{R})</math> jest [[Forma różniczkowa|formą]] klasy <math>C^1,</math> a <math>\sigma</math> jest orientacją powierzchni <math>H,</math> to
: <math>{}\,\int\limits_{[K]_\sigma}d\Omega = \int\limits_{[\mathrm{Fr}K]_{\sigma^\mathrm{Fr}}}\Omega,</math>

gdzie orientacja <math>\sigma^{\rm{Fr}}</math> powierzchni <math>\mathrm{Fr}K</math> dana jest wzorem
: <math>\sigma^\mathrm{Fr}(y)=\{(a_1, \dots, a_{M-1})\in B_{(\mathrm{Fr}K)_y}\colon\, (z(y), a_1, \dots, a_{M-1})\in \sigma(y)\}</math>

dla <math>y\in \mathrm{Fr}K,</math> a
: <math>z\colon \mathrm{Fr}K\to \mathbb{R}^N</math>

jest taką funkcją, że <math>z(y)</math> jest wektorem zewnętrznym do zbioru <math>K</math> w punkcie <math>y,</math> <math>|z(y)|=1,</math> <math>z(y)</math> jest wektorem normalnym do powierzchni <math>\mathrm{Fr}K</math> w punkcie <math>y</math> dla każdego <math>y\in \mathrm{Fr}K.</math>

=== Wnioski ===
==== Wzór Gaussa-Ostrogradskiego ====
Załóżmy, że <math>W\subseteq \mathbb{R}^N</math> jest zbiorem otwartym, <math>K \subseteq W</math> zbiorem zwartym, który jest równy domknięciu swojego wnętrza oraz takim, brzeg <math>\mathrm{Fr}K</math> jest <math>(N\!-\!1)</math>-wymiarową powierzchnią gładką oraz
: <math>z\colon \mathrm{Fr}K\to\mathbb{R}^N</math>

jest funkcją o własnościach
* <math>z(y)</math> jest wektorem zewnętrznym do <math>K</math> w punkcie <math>y,</math>
* <math>|z(y)| = 1,</math>
* <math>z(y)</math> jest wektorem normalnym do <math>\mathrm{Fr}K</math> w punkcie <math>y</math> leżącym na brzegu <math>\mathrm{Fr}K.</math>

Jeżeli <math>\omega\colon W\to\mathbb{R}^N</math> jest funkcją klasy <math>C^1,</math> to
: <math>{}\,\int\limits_{\mathrm{Fr}(K)}\omega(y)z(y)\mu_\mathrm{Fr}(dy)=\int\limits_K\operatorname{div} \omega(y)dy,</math>

gdzie <math>\operatorname{div}</math> oznacza operator [[dywergencja|dywergencji]].

==== Wzór Greena-Riemanna ====
{{osobny artykuł|Twierdzenie Greena}}
Załóżmy, że <math>W\subseteq \mathbb{R}^2</math> jest zbiorem otwartym, <math>K\subset W</math> jest zbiorem zwartym takim, że <math>K=\operatorname{cl\,Int}K</math> oraz brzeg <math>\mathrm{Fr}K</math> jest krzywą gładką (to znaczy powierzchnią gładką 1-wymiarową), a ponadto
: <math>s\colon \mathrm{Fr}K\to \mathbb{R}^2</math>

jest funkcją o własnościach
* <math>s(y)</math> jest wektorem stycznym do krzywej <math>\mathrm{Fr}K</math> w punkcie <math>y,</math>
* <math>|s(y)|=1,</math>
* <math>\det[z(y), s(y)]>0.</math>

gdzie <math>z(y)</math> jest funkcją taką jak w poprzednim twierdzeniu (przy <math>N=2</math>). Jeżeli <math>\omega=(\omega_1, \omega_2)\colon W\to \mathbb{R}^2</math> jest funkcją klasy <math>C^1,</math> to
: <math>{}\,\int\limits_{\mathrm{Fr}(K)}\omega(y)s(y)\mu_\mathrm{Fr}(dy)=\int\limits_K(\omega_{2|1}(y)-\omega_{1|2}(y))dy.</math>

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* [[Jerzy Juliusz Kijowski]], [https://www.youtube.com/watch?v=EX37OoaDCcc Twierdzenie Stokesa], kanał [[Centrum Fizyki Teoretycznej Polskiej Akademii Nauk|Centrum Fizyki Teoretycznej PAN]] na [[YouTube]], 18 maja 2021 [dostęp 2021-05-23].
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Stokes_theorem Stokes theorem]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].

{{Całki wielowymiarowe}}

[[Kategoria:Geometria różniczkowa]]
[[Kategoria:Twierdzenia – analiza matematyczna|Stokesa]]