Tekst źródłowy strony Twierdzenie Riemanna o szeregach warunkowo zbieżnych

{{spis treści}}'''Twierdzenie Riemanna''' – [[twierdzenie]] autorstwa [[Bernhard Riemann|Bernharda Riemanna]] mówiące o tym, że jeżeli [[szereg (matematyka)|szereg]] jest [[Szereg (matematyka)#Zbieżność bezwzględna i warunkowa|warunkowo zbieżny]], to jego wyrazy można poprzestawiać w taki sposób, aby nowo otrzymany szereg był zbieżny do dowolnej liczby, a nawet był rozbieżny.

== Twierdzenie ==
Niech
: <math>(a_1, \ a_2, \ a_3, \dots)</math>

będzie takim ciągiem [[Liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]], że szereg <math>\textstyle \sum_{n=1}^\infty a_n</math> jest warunkowo zbieżny. Ponadto niech <math>M</math> będzie liczbą rzeczywistą. Wówczas istnieje taka [[permutacja]] <math>\sigma</math> zbioru [[Liczby naturalne|liczb naturalnych]], że
: <math>\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = M.</math>

Istnieje również taka permutacja <math>\sigma,</math> że
: <math>\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = \pm\infty.</math>

Wyrazy szeregu można również ustawić w takiej kolejności, że szereg nie ma żadnej granicy (ani skończonej, ani nieskończonej).

== Dowód ==
Niech <math>(m_n), (m'_n)</math> będą ciągami liczb rzeczywistych zbieżnymi do <math>M</math> odpowiednio z dołu i z góry, tzn. <math>m_n < M</math> i <math>m'_n > M</math> (można przyjąć <math>m_n = M - 1/n</math> oraz <math>m'_n = M + 1/n</math>). Oznaczmy ponadto
: <math>p_n = \tfrac{|a_n|+a_n}{2}, \ q_n = \tfrac{|a_n|-a_n}{2}.</math>

Zauważmy, że ciąg <math>(p_n)</math> powstaje z ciągu <math>(a_n)</math> przez zastąpienie wyrazów <math>< 0</math> zerami. Analogicznie, ciąg <math>(q_n)</math> powstaje z ciągu <math>(a_n)</math> przez zastąpienie wyrazów <math>< 0</math> ich wartościami bezwzględnymi, a wyrazów <math>> 0</math> zerami. Oczywiście wszystkie wyraz <math>p_n, q_n</math> są nieujemne, a szeregi <math>\sum p_n, \sum q_n</math> są rozbieżne. Rzeczywiście, gdyby oba powyższe szeregi były zbieżne, to zbieżny byłby szereg <math>\sum |a_n| = \sum (p_n + q_n),</math> co przeczy założeniu. Podobnie, gdyby tylko jeden z powyższych szeregów był zbieżny, to rozbieżny byłby szereg <math>\sum a_n,</math> gdyż <math>a_n = p_n - q_n.</math>

Oznaczmy teraz nieujemne wyrazy ciągu <math>(a_n)</math> przez <math>(P_n),</math> a [[Wartość bezwzględna|wartości bezwzględne]] wyrazów ujemnych przez <math>(Q_n)</math> (w kolejności takiej w jakiej występują w ciągu <math>(a_n)</math>). Wtedy szeregi <math>\sum P_n</math> oraz <math>\sum Q_n</math> są równe szeregom <math>\sum p_n</math> oraz <math>\sum q_n</math> z dokładnością do wyrazów równych <math>0,</math> a zatem są oba rozbieżne.

Wybierzmy teraz możliwie najmniejsze liczby naturalne <math>i_1</math> oraz <math>j_1</math> w taki sposób, aby
: <math>P_1 + P_2 + \ldots + P_{i_1} > m_1</math> i <math>P_1 + P_2 + \ldots + P_{i_1} - Q_1 - Q_2 - \ldots - Q_{j_1} < m'_1.</math>

Takie liczby istnieją na mocy rozbieżności szeregów <math>\sum P_n, \sum Q_n.</math> Następnie dla danych liczb <math>i_n, j_n</math> określamy indukcyjnie możliwie najmniejsze liczby <math>i_{n+1} > i_n, j_{n+1} > j_n,</math> tak aby
: <math>P_1 + \ldots + P_{i_1} - Q_1 - \ldots - Q_{j_1} + \ldots + P_{i_n+1} + \ldots + P_{i_{n+1}} > m_{n+1}</math>

oraz
: <math>P_1 + \ldots + P_{i_1} - Q_1 - \ldots - Q_{j_1} + \ldots + P_{i_n+1} + \ldots + P_{i_{n+1}} - Q_{j_n+1} - \ldots - Q_{j_{n+1}} < m'_{n+1}.</math>

Otrzymujemy w ten sposób szereg
: (*) <math>P_1 + \ldots + P_{i_1} - Q_1 - \ldots - Q_{j_1} + \ldots + P_{i_{n-1}} + \ldots + P_{i_n} - Q_{j_{n-1}} - \ldots - Q_{j_n} + \dots,</math>

który jest szeregiem powstałym z <math>\sum a_n</math> przez pewną permutację wyrazów. Pokażemy, że spełnia on tezę twierdzenia. Oznaczmy mianowicie sumy częściowe szeregu (*), kończące się na wyrazie <math>P_{i_n}</math> przez <math>\tau_n.</math> Zauważmy ponadto, że <math>P_n \to 0,</math> gdy <math>n \to \infty</math> na mocy zbieżności szeregu <math>\sum a_n.</math> Ponieważ <math>|\tau_n - m_n| \leqslant P_n,</math> to <math>\tau_n \to M,</math> tzn. M jest [[Punkt skupienia zbioru|punktem skupienia]] ciągu sum częściowych szeregu (*), a tym samym jest sumą tego szeregu, gdyż jego ciąg sum częściowych spełnia [[Ciąg Cauchy’ego|warunek Cauchy’ego]] <math>(m_n - m'_n \to 0,</math> gdy <math>n \to \infty).</math> To kończy dowód.

Przypadek <math>\pm\infty</math> jest całkowicie analogiczny.

== Przykład ==
Szereg
: <math>1 - \tfrac12 + \tfrac13 - \tfrac14 + \ldots = \sum_{n=1}^\infty~\frac{(-1)^{n+1}}{n},</math>

nazwany '''szeregiem [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniza]]''' jest zbieżny warunkowo do <math>\ln 2</math> na mocy [[kryterium Leibniza]] (nie jest bezwzględnie, gdyż szereg wartości bezwzględnych jego wyrazów jest rozbieżnym szeregiem harmonicznym). Zarówno szereg składników dodatnich
: <math>1 + \tfrac13 + \tfrac15 + \tfrac17 + \dots,</math>

jak i szereg składników ujemnych
: <math>\tfrac12 + \tfrac14 + \tfrac16 + \tfrac18 + \dots</math>

są rozbieżne do <math>+\infty.</math>

Oznaczmy sumę jego wyrazów przez <math>S.</math> Wyrazy tego ciągu możemy pogrupować parami:
: <math>S = (1 - \tfrac12) + (\tfrac13 - \tfrac14) + (\tfrac15 - \tfrac16) + \dots,</math>

a następnie pomnożyć wszystkie przez <math>\frac12,</math> otrzymując
: <math>\tfrac12S = \tfrac12 - \tfrac14 + \tfrac16 - \tfrac18 + \tfrac{1}{10} + \dots</math>

Dodając do siebie oba powyższe szeregi mamy
: <math>\tfrac32 S = 1 + \tfrac13 - \tfrac24 + \tfrac15 + \tfrac17 - \tfrac28 + \dots</math>

Ostatecznie, powyższy szereg składa się z tych samych wyrazów co szereg pierwotny, ale jego suma jest o połowę większa. Jest to możliwe, ponieważ rozważany szereg nie jest bezwzględnie zbieżny.

== Zobacz też ==
* [[twierdzenie Lévy’ego-Steinitza]]

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld|adres=RiemannSeriesTheorem |tytuł=Riemann Series Theorem |data dostępu=12 grudnia 2020}}
* {{otwarty dostęp}} L.D. Kudryavtsev, ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Riemann_theorem#Riemann.27s_theorem_on_the_rearrangement_of_terms_of_a_series Riemann’s theorem on the rearrangement of terms of a series]'' {{lang|en}}, Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-12-20].

[[Kategoria:Szeregi]]
[[Kategoria:Twierdzenia o ciągach rzeczywistych|R]]
[[Kategoria:Bernhard Riemann]]