Tekst źródłowy strony Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa

[[Plik:Vector sphere.svg|mały|Sfera jednostkowa z wektorami powierzchni]]
'''Twierdzenie [[Michaił Ostrogradski|Ostrogradskiego]]-[[Carl Friedrich Gauss|Gaussa]]''' umożliwia zamianę [[Całka powierzchniowa|całki powierzchniowej]] na objętościową ([[Całka wielokrotna|potrójną]]) i na odwrót, w zależności od potrzeb, w której funkcją podcałkową po objętości jest [[dywergencja]] [[pole wektorowe|pola wektorowego]] <math>\vec a.</math>

Stosowane jest w [[elektrodynamika|elektrodynamice]] teoretycznej, przede wszystkim w [[Teoria pola (fizyka)|teorii pola]], [[elektronika|elektronice]], [[telekomunikacja|telekomunikacji]] i [[energetyka|energetyce]].

== Teza ==
Niech <math>V \subset \mathbb R^3</math> będzie [[Obszar (matematyka)|obszarem]] ograniczonym [[powierzchnia|powierzchnią]] zamkniętą <math>S,</math> a <math>P(x, y, z), Q(x, y, z)</math> i <math>R(x, y, z)</math> będą funkcjami mającymi [[funkcja ciągła|ciągłe]] [[pochodna cząstkowa|pochodne cząstkowe]] pierwszego rzędu na obszarze <math>V.</math> Prawdziwa jest wówczas następująca zależność:
: <math>\iint\limits_S (P\; dy\, dz + Q\; dz\, dx + R\; dx\, dy) = \iiint\limits_V \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right)\; dx\, dy\, dz.</math>

Przy czym całka po lewej stronie liczona jest po zewnętrznej stronie powierzchni <math>S.</math>

=== Dowód ===
Niech <math>V</math> oznacza rzut na płaszczyznę <math>XOY</math> oraz dla <math>D\subseteq V,</math> niech
: <math>\bar{V}=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \, \colon \, (x,y)\in \bar{D} \wedge z \in [g_1(x,y),g_2(x,y)]\}</math>

Podzielmy powierzchnię <math>S</math> na trzy takie części <math>S_1, S_2, S_3,</math> że:
: <math>S_1=\{(x,y,g_1(x,y))\colon (x,y)\in D\}</math>
: <math>S_2=\{(x,y,z)\colon (x,y)\in \partial D \wedge z \in [g_1(x,y),g_2(x,y)]\}</math>
: <math>S_3=\{(x,y,g_2(x,y))\colon (x,y)\in D\},</math>

przy czym <math>\partial D</math> oznacza brzeg obszaru <math>D.</math>

Dla <math>S_2</math> trzecia składowa wektora normalnego wynosi zero, zaś dla <math>S_1</math> wektor normalny ma postać
: <math>\pm \left[\frac{\partial g_1}{\partial x}, \frac{\partial g_1}{\partial y}, -1\right].</math>

Jednak wiemy, że całka po lewej stronie jest po zewnętrznej stronie powierzchni <math>S.</math> Tak więc wektor normalny powierzchni „dolnej” musi być zwrócony w dół, więc trzecia składowa wektora normalnego wynosi <math>-1.</math> Analogicznie dla powierzchni <math>S_3</math> wektor normalny wynosi
: <math>\left[-\frac{\partial g_2}{\partial x}, -\frac{\partial g_2}{\partial y}, 1\right].</math>

Weźmy składową <math>R</math> [[pole wektorowe|pola wektorowego]]. Tak więc dla lewej strony dowodzonej równości mamy:
: <math>\iint\limits_S R\, dx \, dy = \iint\limits_{S_1} R\, dx \, dy + \iint\limits_{S_3} Rdx \, dy</math>
: <math>= \iint\limits_D R(x,y,g_2(x,y)) dx \, dy - \iint\limits_D R(x,y,g_1(x,y)) dx \, dy</math>
: <math>= \iint\limits_D (R(x,y,g_2(x,y))-R(x,y,g_1(x,y)) dx \, dy.</math>

Przekształcając prawą stronę dowodzonej równości:
: <math>\iiint\limits_V \frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z) dx \, dy \, dz = \iint\limits_D dx \, dy \int\limits_{g_1(x,y)}^{g_2(x,y)} \frac{\partial R}{\partial z}(x,y,z) dz.</math>

Dalej, stosując [[Całka Riemanna|twierdzenie Newtona-Leibniza]], otrzymujemy:
: <math>\iiint\limits_V \frac{\partial R}{\partial z} dx \, dy \, dz = \iint\limits_D (R(x,y,g_2(x,y))-R(x,y,g_1(x,y)) dx \, dy.</math>

Dowody dla składowych <math>P</math> i <math>Q</math> są analogiczne.

A więc lewa i prawa strona tezy są równe.

== Postać wektorowa ==
Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego często zapisujemy w postaci wektorowej.

Niech <math>\vec A</math> będzie dowolnym [[pole wektorowe|polem wektorowym]], dla którego istnieje [[dywergencja]] na całym zamkniętym obszarze o objętości <math>V,</math> otoczonej powierzchnią <math>S.</math> Wtedy Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego ma postać<ref name="epwn">{{Encyklopedia PWN | id = 3904288 | tytuł = Gaussa–Ostrogradskiego wzór | data dostępu = 2021-10-06}}</ref>:
: <math>\int\limits_S \vec {\mathbf A}\cdot d \vec{\mathbf S} = \int\limits_V \left(\nabla \cdot \vec {\mathbf A} \right)\; dV,</math>

gdzie <math>\vec{\mathbf dS}</math> jest [[wektor powierzchni|wektorem powierzchni]] dla infinitezymalnego elementu powierzchni <math>dS</math> na powierzchni <math>S,</math> a <math>dV</math> jest infinitezymalnym elementem objętości w obszarze <math>V.</math>

Zaletą wzoru zapisanego w ten sposób jest jego zwięzłość.

== Zobacz też ==
* [[prawo Gaussa (elektryczność)]]
* [[twierdzenie Stokesa]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{otwarty dostęp}} ''[https://encyclopediaofmath.org/wiki/Divergence_theorem Divergence theorem]'', Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2021-03-12].

{{Całki wielowymiarowe}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Twierdzenia – analiza matematyczna|Ostrogradskiego-Gaussa]]