Tekst źródłowy strony Twierdzenie Mittag-Lefflera

[[Plik:Gösta Mittag-Leffler x Brauer.jpg|mały|Portret Gösty Mittaga-Lefflera]]
W [[Analiza zespolona|analizie zespolonej]] '''twierdzenie Mittag-Lefflera''' dotyczy istnienia [[Funkcja meromorficzna|funkcji meromorficznych]] o określonych [[Biegun (analiza zespolona)|biegunach]]. Odwrotnie, można go użyć do wyrażenia dowolnej funkcji meromorficznej jako sumy ułamków cząstkowych. Jest to twierdzenie podobne do twierdzenia Weierstrassa, które orzeka i istnieniu [[Funkcja holomorficzna|funkcji holomorficznych]] o określonych [[Miejsce zerowe|miejscach zerowych]].

Twierdzenie to zostało nazwane na cześć szwedzkiego matematyka [[Magnus Gösta Mittag-Leffler|Gösty Mittaga-Lefflera]], który opublikował jego wersje w latach 1876 i 1884<ref>{{Cytuj pismo |nazwisko = Mittag-Leffler |tytuł = En metod att analytiskt framställa en funktion af rational karakter, hvilken blir oändlig alltid och endast uti vissa föreskrifna oändlighetspunkter, hvilkas konstanter äro på förhand angifna |czasopismo = Öfversigt af Kongliga Vetenskaps-Akademiens förhandlingar Stockholm |wolumin = 33 |wydanie = 6 |strony = 3–16 |data = 1876}}</ref><ref>{{Cytuj pismo |nazwisko = Mittag-Leffler |tytuł = Sur la représentation analytique des fonctions monogènes uniformes dʼune variable indépendante |url = https://zenodo.org/records/1751831/files/article.pdf |czasopismo = Acta Mathematica |wolumin = 4 |strony = 1–79 |data = 1884 |doi = 10.1007/BF02418410}}</ref><ref>{{Cytuj pismo |nazwisko = Turner |imię = Laura E. |tytuł = The Mittag-Leffler Theorem: The origin, evolution, and reception of a mathematical result, 1876–1884 |czasopismo = Historia Mathematica |wolumin = 40 |wydanie = 1 |strony = 36–83 |data = 2013-02-01 |issn = 0315-0860 |doi = 10.1016/j.hm.2012.10.002 |język = en}}</ref>.

== Twierdzenie ==
Niech <math>U</math> będzie [[Zbiór otwarty|zbiorem otwartym]] w <math>\mathbb C</math> oraz <math>E \subset U</math> będzie podzbiorem, którego [[Punkt skupienia zbioru|punkty skupienia]], jeśli występują, występują na [[Brzeg (matematyka)|brzegu]] zbioru <math>U.</math> Dla każdego <math>a</math> w <math>E,</math> niech <math>p_a(z)</math> będzie wielomianem ze względu na zmienną <math>1/(z-a)</math> bez stałego współczynnika, tj. wyrażeniem postaci
: <math>p_a(z) = \sum_{n=1}^{N_a} \frac{c_{a,n}}{(z-a)^n}.</math>

Twierdzenie Miggag-Lefflera mówi, że przy takich założeniach istnieje [[funkcja meromorficzna]] <math>f</math> na zbiorze <math>U</math> której [[Biegun (analiza zespolona)|bieguny]] są dokładnie elementami <math>E</math> i takie, że dla każdego takiego bieguna <math>a \in E,</math> funkcja <math>f(z)-p_a(z)</math> ma tylko usuwalną osobliwość na <math>a;</math> w szczególności [[Część główna|częścią główną]] z <math>f</math> wokół punktu <math>a</math> jest <math>p_a(z).</math> Funkcja taka nie jest określona jednoznacznie. Dowolna inna funkcja funkcję meromorficzną <math>g</math> na <math>U</math> która spełnia założenia twierdzenia można wyrazić w postaci <math>g=f+h,</math> gdzie <math>h</math> jest dowolną funkcją [[Funkcja holomorficzna|holomorficzną]] na <math>U.</math>

== Przykład ==
Załóżmy, że chcemy otrzymać funkcję meromorficzną z prostymi biegunami [[Residuum funkcji holomorficznej|z residuum]] 1 dla biegunów we wszystkich dodatnich liczb całkowitych. Przy zapisie jak wyżej, niech
: <math>p_k(z) = \frac{1}{z-k}</math>

oraz <math>E = \mathbb{Z}^+</math> Twierdzenie Mittag-Lefflera daje istnienie funkcji meromorficznej <math>f</math> z częścią główną <math>p_k(z)</math> w <math>z=k</math> dla każdej liczby całkowitej dodatniej <math>k.</math> Funkcję taką możemy określić też&nbsp;jawnie przy pomocy szeregu
: <math>f(z) = z\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(z-k)}.</math>

Ten szereg zbiega normalnie na dowolnym [[Przestrzeń zwarta|zwartym]] podzbiorze <math>\mathbb{C} \smallsetminus \mathbb{Z}^+</math> (co można wykazać za pomocą kryterium Weierstrassa zbieżności szeregów) do funkcji meromorficznej o pożądanych własnościach.

== Rozwinięcia biegunowe funkcji meromorficznych ==
Oto kilka przykładów rozwinięć biegunowych funkcji meromorficznych: <math display="block">\pi\operatorname{cosec}(\pi z)

= \sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{(-1)^n}{z-n}

= \frac1z + 2z\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{z^2 - n^2}</math><math display="block">\pi\sec(\pi z)

= \sum_{n\in\mathbb{Z}} \frac{(-1)^{n-1}}{z-\left(n+\frac12\right)}

= 2\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n-1}(n+\frac12)}{z^2-(n+\frac12)^2}
</math><math display="block">\pi\operatorname{ctg}(\pi z)

= \lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N \frac1{z-n}

= \frac1z + 2z\sum_{n=1}^\infty \frac1{z^2 - n^2}</math>
: <math>\pi\operatorname{tg}(\pi z) = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N \frac{-1}{z-(n+\frac12)} = 2z\sum_{n=0}^\infty \frac{-1}{z^2-(n+\frac12)^2}</math>

: <math>(\pi\operatorname{cosec}(\pi z))^2 = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac1{(z-n)^2}</math>

: <math>(\pi\sec(\pi z))^2 = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac1{(z-(n+\frac12))^2}</math>

== Zobacz też ==
* [[Twierdzenie Liouville’a (analiza zespolona)|Twierdzenie Liouville’a]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Twierdzenia – analiza zespolona]]