Tekst źródłowy strony Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej

{{Inne znaczenia|zbieżności ciągu funkcji mierzalnych|[[Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego]] liczb rzeczywistych}}
[[Plik:Lebesgue 2.jpeg|thumb|[[Henri Lebesgue]]]]
'''Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej''' – [[twierdzenie]] w [[analiza matematyczna|analizie]] i [[teoria miary|teorii miary]] stwierdzające, że [[Całka Lebesgue’a|całka Lebesgue'a]] funkcji będącej [[Zbieżność punktowa|punktową granicą]] niemalejącego ciągu nieujemnych funkcji [[funkcja mierzalna|mierzalnych]] jest granicą ciągu całek z tych funkcji. 

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania [[Francja|francuskiego]] matematyka [[Henri Lebesgue|Henri Lebesgue’a]].

== Twierdzenie ==
Załóżmy że:
: (a) <math>(X,\mathcal{F},\mu)</math> jest [[przestrzeń mierzalna|przestrzenią mierzalną z miarą]],
: (b) <math>f_n\colon X\longrightarrow \mathbb R</math> (dla <math>n\in \mathbb N</math>) jest ciągiem funkcji mierzalnych,
: (c) <math>0\leqslant f_1(x)\leqslant f_2(x)\leqslant f_3(x)\leqslant\ldots</math> dla każdego <math>x\in X,</math>
: (d) funkcja <math>f\colon X\longrightarrow \mathbb R</math> jest zdefiniowana jako [[Granica ciągu|granica]] 
:: <math>f(x)=\lim_{n \to \infty} f_n(x)</math> dla <math>x\in X.</math>

Wówczas funkcja <math>f</math> jest mierzalna, ponadto <math>\int f\ d\mu=\lim_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu.</math>

Powyższe twierdzenie dopuszcza przypadek, w którym funkcje <math>f_n</math> oraz <math>f</math> przyjmują wartość <math>\infty</math>, jak również przypadek, gdy granica całek jest nieskończona<ref name="rudinzespolony" />. Twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność [[zbiór miary zero|prawie wszędzie]], a nie dla każdego <math>x.</math>

== Szkic dowodu ==
Mierzalność funkcji granicznej jest zwykle dowodzona osobno; wynika ona z faktu, że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna<ref name=rudinzespolony>{{Cytuj książkę |nazwisko=Rudin |imię=Walter |tytuł=Analiza rzeczywista i zespolona |wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |strony=23, 29}}</ref>. Załóżmy więc, że są spełnione warunki (a)-(d). Jak wspomnieliśmy, <math>f</math> jest mierzalna. Ponieważ ciąg <math>\left(\int f_n d\mu\right)_{n\in \mathbb N}</math> jest [[funkcja monotoniczna|monotonicznie]] niemalejący (na mocy założenia (c)), więc jest on zbieżny, być może do granicy nieskończonej. Niech <math>C=\lim_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu.</math>

Przypuśćmy, że <math>h\colon X\longrightarrow \mathbb R</math> jest całkowalną [[funkcja prosta|funkcją prostą]] taką, że <math>0\leqslant h\leqslant f.</math> Ustalmy na jakiś czas liczbę <math>\alpha\in (0,1).</math> Dla liczby naturalnej <math>n\in \mathbb N</math> połóżmy
: <math>A_n=\{x\in X: \alpha\cdot h(x)\leqslant f_n(x)\}.</math>

Oczywiście, <math>A_n\in \mathcal F</math> (jako że zarówno <math>f_n,</math> jak i <math>h</math> są mierzalne) oraz <math>A_n\subseteq A_{n+1}</math> (używamy tu założenia (c)). Ponieważ <math>\alpha\cdot h(x)<f(x)</math> ilekroć <math>f(x)>0,</math> to używając założenia (d) widzimy, że <math>X=\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n.</math> Zauważmy, że
: (i) <math>{}\quad\alpha\cdot\int\limits_{A_n} h\ d\mu\leqslant \int\limits_{A_n} f_n\ d\mu\leqslant \int f_n\ d\mu.</math>

Następnie, pamiętając że <math>h</math> jest funkcją prostą, sprawdza się że
: (ii) <math>{}\quad\lim_{n\to\infty}\int\limits_{A_n} h\ d\mu=\int\limits_{\bigcup_{n=1}^\infty A_n} h\ d\mu=\int h\ d\mu.</math>

Przechodząc z <math>n</math> do granicy w (i) i używając (ii), otrzymujemy
: <math>\alpha\cdot\int h\ d\mu\leqslant C.</math>

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla każdej liczby <math>\alpha\in (0,1),</math> to otrzymujemy iż <math>\int h\ d\mu\leqslant C=\lim_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu.</math>

Tak więc wykazaliśmy, że dla każdej funkcji prostej <math>h</math> spełniającej nierówności <math>0\leqslant h\leqslant f,</math> mamy, że <math>\int h\ d\mu\leqslant C,</math> a więc funkcja <math>f</math> spełnia <math>\int f\ d\mu\leqslant C.</math> (Czytelnik może zechcieć skonsultować ten wniosek z definicją funkcji [[Całka Lebesgue’a#Całkowanie funkcji mierzalnych|całki Lebesgue'a z funkcji mierzalnej nieujemnej]].) Ponieważ jednocześnie <math>\int f_n\ d\mu\leqslant \int f\ d\mu</math> (jako że <math>f_n\leqslant f</math>), to mamy też
: <math>\int f\ d\mu= C=\lim_{n \to \infty} \int f_n\ d\mu.</math>

== Zastosowania ==
* Twierdzenie o zbieżności monotonicznej jest używane w niektórych dowodach [[lemat Fatou|lematu Fatou]].
* Jest ono również używane (przy odpowiednich założeniach o funkcjach <math>f_1,f_2,\dots</math>) do całkowań nieujemnych [[Szereg funkcyjny|szeregów funkcyjnych]]:
: <math>\sum_n \int f_n\;d\mu=\int\;\sum_n f_n\;d\mu.</math>

== Zobacz też ==
* [[całka Lebesgue’a]]
* [[funkcja całkowalna]]
* [[lemat Fatou]]
* [[twierdzenie Fubiniego]]
* [[twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej]]
* [[twierdzenie Vitalego o zbieżności]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |nazwisko=Rudin |imię=Walter |tytuł=Analiza rzeczywista i zespolona |wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |rok=1998 |isbn=978-83-01-15801-9}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko=Rudnicki |imię=Ryszard |tytuł=Wykłady z analizy matematycznej |wydawca=Wydawnictwo Naukowe PWN |rok=2006}}

[[Kategoria:Twierdzenia teorii miary|Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej]]

[[it:Passaggio al limite sotto segno di integrale#Integrale di Lebesgue]]