Tekst źródłowy strony Twierdzenie Jordana-Höldera

{{spis treści}}
'''Twierdzenie Jordana-Höldera''' – [[twierdzenie]] [[teoria grup|teorii grup]] zapewniające jednoznaczność konstrukcji [[ciąg (teoria grup)#Ciąg kompozycyjny|ciągu kompozycyjnego]] [[grupa (matematyka)|grupy]] (o ile można ją przeprowadzić<ref group="uwaga" name="skończona">Przykładowo każda grupa skończona ma ciąg kompozycyjny.</ref>), tzn. stwierdzające ''równoważność'' dowolnych dwóch ciągów kompozycyjnych danej grupy.

Pierwszą część twierdzenia, mianowicie niezmienniczość (co do porządku) [[rząd (teoria grup)|rzędów]] [[grupa ilorazowa|grup ilorazowych]] „ciągu Jordana-Höldera” grupy skończonej, dowiódł [[Marie Ennemond Camille Jordan|Camille Jordan]] w ''Traité des substitutions et des équations algébriques'' („Traktakt o podstawieniach i równaniach algebraicznych”) z 1870 roku. Właściwe twierdzenie o jednoznaczności będące uzupełnieniem wyniku Jordana podał [[Otto Ludwig Hölder|Otto Hölder]], który pokazał w opublikowanej w ''[[Mathematische Annalen]]'' z 1889 roku pracy ''Zurückführung einer beliebigen algebraischen Gleichung auf eine Kette von Gleichungen'' („Przypisanie dowolnemu równaniu algebraicznemu ciągu równań”)<ref group="uwaga">W tym dziele po raz pierwszy pojawiają się [[grupa ilorazowa|grupy ilorazowe]] we współczesnej postaci.</ref>, że same ilorazy (co do porządku) są niezależne od rozważanego ciągu. Twierdzenie Jordana-Höldera jest również prawdziwie dla [[indukcja pozaskończona|pozaskończonych]] ''rosnących'' ciągów kompozycyjnych, ale nie pozaskończonych ''malejących'' ciągów kompozycyjnych (uzupełnienie [[Garrett Birkhoff|Garretta Birkhoffa]] z 1934 roku)<ref group="uwaga">Wiele ważnych zastosowań [[algebra liniowa|algebry liniowej]] dotyczy skończeniewymiarowych [[przestrzeń liniowa|przestrzeni liniowych]]; okazuje się jednak, że moduły nad większością [[pierścień (matematyka)|pierścieni]] niebędących [[ciało (matematyka)|ciałami]] o skończonej długości są dość niespotykanym zjawiskiem (np. moduł nad [[pierścień przemienny|przemiennym]] [[pierścień noetherowski|pierścieniem noetherowskim]] ma skończoną długość wtedy i tylko wtedy, gdy jest [[zbiór generatorów|skończenie generowany]] i wszystkie jego [[ideał pierwszy|ideały pierwsze]] są [[ideał maksymalny|maksymalne]], zob. [[pierścień ideałów głównych|dziedzina ideałów głównych]]). Przykładowo pierścień <math>\mathbb Z</math> jako moduł nad sobą (tj. <math>\mathbb Z</math>-moduł; wg standardów teorii modułów można uważać go za dość mały moduł) nie ma skończonej długości. Istotnie, istnieje ściśle malejący [[łańcuch (teoria mnogości)|łańcuch]] podmodułów <math>\mathbb Z</math> (tzn. [[ideał (teoria pierścieni)|ideałów]]) następującej postaci: <math>\mathbb Z \supsetneq 2\mathbb Z \supsetneq 4\mathbb Z \supsetneq 8\mathbb Z \supsetneq 16\mathbb Z \supsetneq \dots</math> Jeśli <math>\mathbb Z</math> miałby skończoną długość, to długość każdego ideału tego ciągu byłaby ściśle mniejsza od długości go poprzedzającego. To zaś oznaczałoby, że istnieje nieskończony ściśle malejący łańcuch ([[ciąg (matematyka)|ciąg]]) [[liczby naturalne|liczb naturalnych]], co jest niemożliwe ze względu na [[zasada dobrego uporządkowania|zasadę dobrego uporządkowania]] (liczby naturalne są [[dobry porządek|dobrze uporządkowane]]).</ref>.

Podjęte próby uproszczenia dowodu zaowocowały nowymi wynikami – jest to dość niespotykane zjawisko w matematyce zważywszy blisko 40-letni okres od publikacji Höldera. Były to [[twierdzenie Schreiera]] z 1928 roku (dowolne dwa [[ciąg (teoria grup)|ciągi]] grupy mają ''równoważne zagęszczenia'') oraz [[lemat Zassenhausa]] z 1934 roku, który (co tym bardziej zaskakujące) powstał z kolei w celu uproszczenia dowodu twierdzenia Schreiera<ref group="uwaga">Twierdzenie uogólnia się na [[moduł (matematyka)|moduły]], a nawet [[krata modularna|kraty modularne]] (dla których zachodzi [[lemat Zassenhausa]] pociągający [[twierdzenie Schreiera]], z którego wynika twierdzenie Jordana-Höldera).</ref>. W artykule przedstawiono dowód wykorzystujący oba narzędzia.

== Twierdzenie ==
{{zobacz też|ciąg (teoria grup)|o1=ciągi podnormalny i kompozycyjny}}
Niech <math>G</math> będzie grupą z ciągiem kompozycyjnym<ref group="uwaga" name="skończona" />. Wówczas zachodzą
; Lemat
: Każdy właściwy ciąg (podnormalny) można zagęścić do ciągu kompozycyjnego,
; Twierdzenie Jordana-Höldera
: Dowolne dwa ciągi kompozycyjne <math>G</math> są równoważne (tzn. mają tę samą długość, a ich ilorazy są, w [[permutacja|pewnym porządku]], [[izomorfizm|izomorficzne]]).

== Dowód ==
{{zobacz też|twierdzenie Schreiera}}
Niech
: <math>E = G_0 \trianglelefteq \ldots \trianglelefteq G_n = G \qquad\; (g)</math>

będzie (podnormalnym) ciągiem właściwym <math>G,</math> zaś
: <math>E = H_0 \trianglelefteq \ldots \trianglelefteq H_m = G \qquad (h)</math>

będzie ciągiem kompozycyjnym <math>G.</math> Z twierdzenia Schreiera istnieją równoważne ciągi <math>(g')</math> oraz <math>(h')</math> grupy <math>G,</math> dla których <math>(g')</math> jest zagęszczeniem <math>(g),</math> a <math>(h')</math> jest zagęszczeniem <math>(h).</math> Usuwając w <math>(g')</math> i <math>(h')</math> powtarzające się ilorazy otrzymuje się dwa równoważne ciągi właściwe, oznaczane dalej <math>(g'')</math> oraz <math>(h'');</math> uzyskane ciągi są zagęszczeniami <math>(g)</math> oraz <math>(h),</math> ponieważ tak <math>(g),</math> jak i <math>(h)</math> są ciągami właściwymi.

; Lemat
Ciąg <math>(h'')</math> jest właściwy i jest zagęszczeniem <math>(h).</math> Jednakże <math>(h)</math> nie ma zagęszczenia właściwego, ponieważ <math>(h)</math> jest ciągiem kompozycyjnym. Dlatego <math>(h'')</math> jest identyczny z <math>(h).</math> Zatem <math>(g)</math> ma zagęszczenie <math>(g''),</math> które jest równoważne z ciągiem kompozycyjnym <math>(h'') = (h).</math> Wówczas ilorazy <math>(g''),</math> izomorficzne z ilorazami kompozycyjnymi w <math>(h),</math> są bez wyjątku [[grupa prosta|grupami prostymi]], a <math>(g'')</math> sam jest ciągiem kompozycyjnym (zgodnie z [[ciąg (teoria grup)#Ciąg kompozycyjny|charakteryzacją ciągu kompozycyjnego]]). W ten sposób dowolny ciąg właściwy <math>(g)</math> grupy <math>G</math> ma zagęszczenie <math>(g'')</math> będące ciągiem kompozycyjnym.

; Twierdzenie Jordana-Höldera
Niech <math>(g)</math> również będzie ciągiem kompozycyjnym <math>G.</math> Naśladując powyższe rozumowanie <math>(g'')</math> musi być identyczne z <math>(g).</math> Wówczas <math>(g) = (g'')</math> oraz <math>(h'') = (h)</math> są równoważne. Zatem dowolne dwa ciągi kompozycyjne <math>G</math> są równoważne.

== Uwagi ==
{{Uwagi}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę | nazwisko = Białynicki-Birula | imię = Andrzej | autor link = Andrzej Białynicki-Birula | tytuł = Zarys algebry | miejsce = Warszawa | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] | rok = 1987 | strony = 115–117}}

{{Teoria grup}}

[[Kategoria:Twierdzenia teorii grup|Jordana-Höldera]]
[[Kategoria:Ciągi grup]]