Tekst źródłowy strony Twierdzenie Hilberta o zerach

'''Twierdzenie Hilberta o zerach''' ([[Język niemiecki|niem.]] ''Nullstellensatz'') -- udowodnione przez [[David Hilbert|Davida Hilberta]] [[twierdzenie]] w [[algebra|algebrze]] stanowiące fundament klasycznej [[geometria algebraiczna|geometrii algebraicznej]]. Wyraża ono wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy [[rozmaitość algebraiczna|rozmaitościami algebraicznymi]] nad [[ciało algebraicznie domknięte|ciałami algebraicznie domkniętymi]] a [[Radykał ideału|ideałami radykalnymi]] w [[pierścień wielomianów|pierścieniu wielomianów]] o współczynnikach w tym ciele. Pozwala to na badanie rozmaitości algebraicznych, czyli geometrycznych obiektów, metodami algebraicznymi.

== Sformułowanie ==
W literaturze istnieje kilka różnych sformułowań twierdzenia Hilberta o zerach. Szczególną rolę odgrywają zdania zwane ''słaby Nullstellensatz'' oraz ''mocny Nullstellensatz''.

Słaby Nullstellensatz charakteryzuje [[ideał maksymalny|ideały maksymalne]] w pierścieniu wielomianów nad ciałem algebraicznie domkniętym:
: Niech <math>k</math> będzie ciałem algebraicznie domkniętym. Wtedy każdy ideał maksymalny <math>I \triangleleft k[x_1, \dots, x_n]</math> jest postaci <math>I = (x_1 - a_1, x_2 - a_2, \dots, x_n - a_n)</math> dla pewnych <math>a_1, \dots, a_n \in k</math>

Dla <math>S \subseteq k^n,</math> oznaczmy <math>I(S) = \{ f \in k[x_1, \dots, x_n]: \forall s \in S \quad f(s) = 0 \}.</math> Mocny Nullstellensatz mówi:
: Jeżeli <math>J \triangleleft k[x_1, \dots, x_n]</math> jest nietrywialnym ideałem w ciele algebraicznie domkniętym, to <math>I(V(J)) = \sqrt{J},</math> gdzie <math>\sqrt{J}</math> oznacza [[radykał ideału]] <math>J,</math> zatem funkcje <math>I, V</math> są wzajemnie odwrotnymi bijekcjami pomiędzy [[Radykał ideału|ideałami radykalnymi]] a [[rozmaitość algebraiczna|rozmaitościami algebraicznymi]].

== Związek pomiędzy algebrą a geometrią ==
Ze słabego Nullstellensatza można wywnioskować, że każdy niesprzeczny [[układ równań]] wielomianowych <math>n</math> zmiennych <math>f_1(x_1, \dots, x_n) = 0, f_2(x_1, \dots, x_n) = 0, \dots, f_k(x_1, \dots, x_n) = 0</math> ma rozwiązanie: [[niesprzeczność]] oznacza dokładnie tyle, że ideał <math>I = (f_1, \dots, f_k)</math> nie jest całym pierścieniem. Znany fakt z algebry mówi, że w tym wypadku jest zawarty w pewnym ideale maksymalnym <math>\mathfrak{m},</math> który na mocy słabego Nullstellensatza jest postaci <math>\mathfrak{m} = (x_1 - a_1, \dots, x_n - a_n)</math> dla pewnych <math>a_1, \dots, a_n.</math> Ponieważ <math>f_i \in I \subseteq \mathfrak{m},</math> otrzymujemy, że <math>f_i = (x_1-a_1)g_{i1} + (x_2 - a_2) g_{i2} + \ldots + (x_n - a_n) g_{in},</math> dla pewnych <math>g_{ij} \in k[x_1, \dots, x_n]</math> a wtedy oczywiście <math>f_i(a_1, \dots, a_n) = 0,</math> co oznacza, że punkt <math>(a_1, \dots, a_n)</math> jest wspólnym miejscem zerowym wielomianów <math>f_1, \dots, f_k.</math>

Oznaczając przez <math>V(I) = \{ (u_1, \dots, u_n) \in k^n: \forall f \in I \, f(u_1, u_2, \dots, u_n) = 0\}</math> zbiór wspólnych zer wielomianów z ideału <math>I,</math> otrzymujemy, że <math>I \ne k[x_1, \dots, x_n] \Rightarrow V(I) \ne \emptyset,</math> czyli niesprzeczny układ równań daje nam nietrywialny obiekt geometryczny. W drugą stronę, można wywnioskować z tego słaby Nullstellensatz: jeżeli <math>I \triangleleft k[x_1, \dots, x_n]</math> jest ideałem maksymalnym, to <math>V(I) \ne \emptyset</math> oznacza, że pewien punkt <math>(a_1, \dots, a_n) \in V(I),</math> czyli I jest zawarty w jądrze homomorfizmu <math>\phi: k[x_1, \dots, x_n] \to k, \phi(x_i) = a_i,</math> ale I jest ideałem maksymalnym, zatem <math>I = \ker \phi.</math> Z drugiej strony, <math>x_i - a_i \in \ker \phi,</math> oraz ideał <math>(x_1 - a_1, \dots, x_n - a_n) \subseteq \ker \phi</math> jest jak łatwo sprawdzić maksymalny, zatem <math>I = (x_1 - a_1, \dots, x_n - a_n).</math>

Słaby Nullstellensatz mówi zatem o związku pomiędzy ideałami, będącymi obiektami algebraicznymi, a zbiorami zer ideałów, będącymi obiektami geometrycznymi. Mocny Nullstellensatz wyraża ten związek w nieco konkretniejszy sposób: mówi on, że każda rozmaitość algebraiczna w n-wymiarowej przestrzeni afinicznej <math>k^n</math> odpowiada dokładnie jednemu ideałowi radykalnemu <math>I \triangleleft k[x_1, \dots, x_n].</math>

== Zobacz też ==
* [[twierdzenie Hilberta o bazie]]

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Reid| imię = Miles| tytuł = Undergraduate Commutative Algebra| wydawca = [[Cambridge University Press]] | miejsce = New York |rok = 1995 |isbn=0-521-45889-7}}

{{Kontrola autorytatywna}}

[[Kategoria:Geometria algebraiczna]]
[[Kategoria:Twierdzenia geometrii]]