Tekst źródłowy strony Twierdzenie Hahna o rozkładzie

'''Twierdzenie Hahna o rozkładzie''' – twierdzenie teorii [[funkcja rzeczywista|funkcji rzeczywistych]], mówiące o możliwości [[Rozbicie zbioru|rozbicia]] [[przestrzeń mierzalna|przestrzeni mierzalnej]], na której określona jest [[funkcja addytywna zbioru|przeliczalnie addytywna funkcja zbiorów]] na dwa zbiory o pewnych szczególnych własnościach. Nazwa twierdzenia pochodzi od nazwiska [[austria]]ckiego matematyka, [[Hans Hahn|Hansa Hahna]].

== Twierdzenie ==
Jeśli <math>\mathcal A</math> jest [[przestrzeń mierzalna|σ-ciałem]] podzbiorów zbioru <math>X</math> oraz <math>\lambda\colon \mathcal A \to \mathbb R</math> jest przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów, to istnieje rozkład nazywany '''rozkładem Hahna''' dla funkcji <math>\lambda,</math> tzn. istnieją takie zbiory <math>A, B</math> rozłączne, że
: <math>X=A\cup B</math>

oraz, gdy <math>E \in \mathcal A</math> to <math>A \cap E, B \cap E \in \mathcal A,</math> a ponadto
: <math>\lambda(A \cap E) \leqslant 0,\, \lambda(B \cap E)\geqslant 0.</math>

== Kanoniczny rozkład Jordana ==
Ważnym zastosowaniem istnienia rozkładu Hahna dla przeliczalnie addytywnych funkcji zbiorów jest tzw. '''twierdzenie o kanonicznym rozkładzie Jordana''', mówiące o tym, że każda funkcja <math>\lambda,</math> taka jak w sformułowaniu twierdzenia o rozkładzie Hahna, daje się zapisać w postaci
: <math>\lambda=\lambda^+-\lambda^-,</math>

gdzie funkcje <math>\lambda^+, \lambda^-,</math> nazywane odpowiednio '''wahaniem górnym''' i '''dolnym''' funkcji <math>\lambda,</math> określone są wzorami:
: <math>\lambda^+(E)=\sup\{\lambda(F)\colon F\subseteq E, F\in \mathcal{A}\},</math>
: <math>\lambda^-(E)=\sup\{-\lambda(F)\colon F\subseteq E, F\in \mathcal{A}\}</math>

dla <math>E\in \mathcal{A}.</math>

Funkcję <math>|\lambda|</math> daną wzorem
: <math>|\lambda|=\lambda^++\lambda^-</math>

nazywamy '''wahaniem całkowitym''' funkcji <math>\lambda.</math> Każde z wahań <math>\lambda^+, \lambda^-, |\lambda|</math> jest [[miara (matematyka)|miarą]] i przynajmniej jedno z wahań (górne lub dolne) jest [[Przestrzeń probabilistyczna|miarą skończoną]].

Jeżeli zbiory <math>A,B\subset X</math> tworzą rozkład Hahna zbioru <math>X</math> względem <math>\lambda,</math> to dla każdego <math>E\in \mathcal{A}{:}</math>
: <math>\lambda^+(E)=\lambda(A\cap E),</math>
: <math>\lambda^-(E)=-\lambda(B\cap E).</math>

Jeśli <math>\lambda</math> jest funkcją skończoną (σ-skończoną), to każde z wahań jest miarą skończoną (σ-skończoną). Kanoniczny [[Postać Jordana|rozkład Jordana]] funkcji <math>\lambda</math> jest w pewnym sensie minimalny. Dokładniej, jeśli <math>\lambda</math> daje się przedstawić w postaci różnicy dwóch funkcji <math>\mu</math> i <math>\nu,</math> tzn. <math>\lambda=\mu-\nu</math> dla pewnych <math>\mu</math> i <math>\nu,</math> to
: <math>\lambda^+\leqslant \mu</math> oraz <math>\lambda^-\leqslant \nu.</math>

== Zobacz też ==
* [[miara wektorowa|wahanie i półwahanie miary wektorowej]]
* [[norma Fortet-Mouriera]]
* [[twierdzenie Lebesgue’a o rozkładzie]]

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko= Łojasiewicz |imię= Stanisław |autor link= Stanisław Łojasiewicz |tytuł= Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych |url= |rok=1973 |wydawca=[[Wydawnictwo Naukowe PWN|PWN]] |miejsce=Warszawa |strony=188–190}}
* {{Cytuj książkę |nazwisko=Halmos |imię=Paul R. |autor link=Paul Halmos |tytuł=Measure theory |wydawca=New York, Springer-Verlag [1974, c1950] |isbn=0-387-90088-8 |strony= 120–123}}

[[Kategoria:Twierdzenia teorii miary|Hahna o rozkładzie]]