Tekst źródłowy strony Twierdzenie Gleasona-Kahane-Żelazki

'''Twierdzenie Gleasona-Kahane-Żelazki''' – w [[algebra Banacha|teorii przemiennych algebr Banacha]] twierdzenie charakteryzujące [[Forma liniowa|funkcjonały liniowo]]-[[Funkcja multiplikatywna|multiplikatywne]] na [[liczby zespolone|zespolonych]], [[pierścień przemienny|przemiennych]] [[algebra Banacha|algebrach Banacha]] z jedynką. Twierdzenie udowodnione niezależnie przez Gleasona<ref>A. M. Gleason, A characterization of maximal ideals, ''J. d’Anal. Math.'', '''19''' (1967), 171–172.</ref> oraz Kahane i [[Wiesław Żelazko|Żelazkę]]<ref>J.-P. Kahane, W. Żelazko, [http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/sm/sm29/sm29126.pdf A characterization of maximal ideals in commutative Banach algebras], ''[[Studia Mathematica|Studia Math.]]'', '''29''' (1968) 339–343.</ref>.

== Wprowadzenie ==
Niech <math>A</math> będzie algebrą Banacha z jedynką <math>1.</math> Niech <math>GL(A)</math> oznacza grupę [[element odwracalny|elementów odwracalnych]] w <math>A</math> oraz niech <math>f \in A^*</math> będzie niezerowym funkcjonałem liniowo-multiplikatywnym na <math>A.</math> Wówczas
* <math>f(1) = 1.</math> Rzeczywiście, <math>f(1) = f(1\cdot 1) = f(1) \cdot f(1).</math> Oznacza to, że <math>f(1)</math> jest skalarem równym swojemu kwadratowi, czyli <math>f(1) = 0</math> lub <math>f(1) = 1.</math> Pierwszy przypadek jest jednak niemożliwy, ponieważ <math>f</math> jest niezerowym funkcjonałem, a <math>f(a) = f(1)f(a)</math> dla każdego <math>a\in A,</math> skąd <math>f(1) = 1.</math>
* Dla każdego <math>a\in GL(A)</math> wartość <math>f(a)</math> jest niezerowa. Rzeczywiście, <math>1 = f(1) = f(a)\cdot f(a^{-1}).</math>

Twierdzenie Gleasona-Kahane-Żelazki gwarantuje, że te dwie własności charakteryzują funkcjonały liniowo-multiplikatywne na zespolonych przemiennych algebrach Banacha z jedynką.

== Twierdzenie ==
Niech <math>A</math> będzie zespoloną, przemienną algebrą Banacha z jedynką <math>1</math> oraz niech <math>f \in A^*</math> będzie [[przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)|ograniczonym]], niezerowym funkcjonałem liniowym. Wówczas <math>f</math> jest multiplikatywny wtedy i tylko wtedy, gdy
* <math>f(1) = 1,</math>
* <math>f(a)\neq 0</math> dla każdego <math>a\in GL(A).</math>

Innymi słowy <math>f</math> jest multiplikatywny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego <math>a\in A</math> wartość <math>f(a)</math> należy do <math>\sigma(a),</math> tj. [[widmo (matematyka)|widma]] elementu <math>a.</math>

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* E. Kaniuth, ''A Course in Commutative Banach Algebras'' Grad. Texts in Math., vol. 246, Springer, New York (2009), s. 45.

[[Kategoria:Twierdzenia – przestrzenie Banacha|Gleasona-Kahane-Żelazki]]
[[Kategoria:Algebry Banacha]]