Tekst źródłowy strony Twierdzenie Dulaca-Bendixona

[[Plik:Dulac.svg|mały|Zgodnie z twierdzeniem Dulaca każdy dwuwymiarowy autonomiczny układ dynamiczny który ma periodyczną orbitę posiada obszar zarówno o dodatniej, jak i ujemnej dywergencji wewnątrz takiej orbity (tutaj odpowiednio czerwone i zielone obszary)]]
Twierdzenie Dulaca-Benidxona dla [[Układ dynamiczny|układów dynamicznych]] głosi, że jeśli istnieje [[funkcja]] <math>\varphi(x,y)</math> (zwana funkcją Dulaka) taka że:
: <math>\frac{\partial (\varphi f)}{\partial x} + \frac{\partial (\varphi g)}{\partial y} \geqslant 0,</math>

a równość zachodzi jedynie na [[Zbiór miary zero|podzbiorze miary zero]] w [[Przestrzeń jednospójna|jednospójnej]] [[Przestrzeń fazowa|przestrzeni fazowej]], to wtedy [[Układ autonomiczny (matematyka)|autonomiczny układ dynamiczny]]
: <math>\frac{dx}{dt} = f(x,y),</math>
: <math>\frac{dy}{dt} = g(x,y)</math>

nie ma [[Funkcja okresowa|okresowych rozwiązań]], które nie są punktami stałymi, w całości leżącymi wewnątrz obszaru.

Twierdzenie zostało po raz pierwszy sformułowane przez szwedzkiego matematyka Ivara Bendixona w 1901 roku i później udoskonalone przez Henriego Dulaca w 1923 roku, przy użyciu [[Twierdzenie Greena|twierdzenia Greena]].

== Dowód ==
Niech <math>\varphi(x,y)</math> będzie funkcja taką, że w jednospójnym obszarze <math>R</math> zachodzi
: <math>\frac{\partial (\varphi f)}{\partial x} +\frac{\partial (\varphi g)}{\partial y} \geqslant 0</math>

oraz że równość zachodzi na zbiorze miary zero. Niech <math>C</math> będzie zamkniętą trajektorią wewnątrz <math>R,</math> a <math>D</math> wnętrzem <math>R.</math> Korzystając z [[Twierdzenie Greena|twierdzenia Greena]] otrzymujemy
: <math>\begin{align}
\iint_D \left( \frac{\partial (\varphi f)}{\partial x} + \frac{\partial (\varphi g)}{\partial y} \right) \,dx\,dy &= \oint_C \left( -\varphi g\,dx+\varphi f\,dy \right) \\[6pt]
&= \oint_C \varphi \left( -\dot y \,dx+\dot x \,dy \right).
\end{align}</math>

Ale na zachodzi <math>C,</math> <math>dx=\dot x \,dt</math> oraz <math>dy=\dot y\, dt</math> zatem całka musi być równa 0. Otrzymujemy sprzeczność. Nie istnieje taka zamknięta trajektoria <math>C.</math>

== Bibliografia ==
* {{Cytuj książkę |autor = Ted Burton |tytuł = Volterra Integral and Differential Equations |wydawca = Elsevier |rok = 2005 |isbn = 978-0-444-51786-9}}

[[Kategoria:Teoria układów dynamicznych]]
[[Kategoria:Twierdzenia – analiza matematyczna|Dulaca-Bendixona]]