Tekst źródłowy strony Twierdzenie Caseya

[[Plik:Casey theorem.svg|thumb|350px|<math>t_{12} \cdot t_{34}+t_{41}\cdot t_{23}-t_{13}\cdot t_{24}=0</math>]]
'''Twierdzenie Caseya''' – twierdzenie [[Geometria euklidesowa|geometrii euklidesowej]], będące uogólnieniem [[Twierdzenie Ptolemeusza|twierdzenia Ptolemeusza]], nazwane na cześć irlandzkiego matematyka [[John Casey|Johna Caseya]]{{odn|Casey|1866}}.

== Wypowiedź twierdzenia ==
[[Plik:Casey anim.gif|thumb|350px|Animacja pokazująca, jak twierdzenie Caseya degeneruje się do twierdzenia Ptolemeusza]]
: Niech <math>O</math> będzie okręgiem o promieniu <math>R.</math> Niech <math>O_1, O_2, O_3, O_4</math> będą (w tej kolejności) czterema okręgami zawierającymi się i stycznymi od wewnątrz do okręgu <math>O.</math> Oznaczmy przez <math>t_{ij}</math> długość odcinka zawartego pomiędzy punktami styczności na [[styczna zewnętrzna|stycznej zewnętrznej]] do okręgów <math>O_i, O_j.</math> Wtedy zachodzi{{odn|Casey|1866}}:
: {{wzór|<math>t_{12} \cdot t_{34}+t_{41} \cdot t_{23}=t_{13}\cdot t_{24}.</math>|1}}

Zauważmy, że gdy okręgi degenerują się do punktów, twierdzenie to przybiera postać [[Twierdzenie Ptolemeusza|twierdzenia Ptolemeusza]].

=== Dowód ===
Elementarny dowód tego twierdzenia pochodzi z pracy Zachariasa{{odn|Bottema|2008}}{{odn|Zacharias|1942}}. Oznaczmy promień okręgu <math>O_i</math> przez <math>R_i,</math> a jego punkt styczności z okręgiem <math>O</math> przez <math>K_i.</math> Środki okręgów będziemy oznaczali przez <math>O</math> oraz <math>O_i.</math> Z [[twierdzenie Pitagorasa|twierdzenia Pitagorasa]] wynika, że
: {{wzór|<math>t_{ij}^2=\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2.</math>|1a}}

[[Plik:Casey help2.svg|thumb|350px|Zależności pomiędzy odcinkami stycznymi wewnętrznymi (po lewej) oraz zewnętrznymi (po prawej) do okręgów <math>O_i,O_j</math>]]
Będziemy chcieli wyrazić prawą stronę tej równości przy użyciu punktów <math>K_i,K_j,</math> by móc zastosować twierdzenie Ptolemeusza. Z [[twierdzenie cosinusów|twierdzenia cosinusów]] zastosowanego do trójkąta <math>O_iOO_j</math> wynika, że
: {{wzór|<math>\overline{O_iO_j}^2=\overline{OO_i}^2+\overline{OO_j}^2-2\overline{OO_i}\cdot \overline{OO_j}\cdot \cos\angle O_iOO_j</math>|1b}}

Ponieważ okręgi <math>O,O_i</math> są do siebie styczne, zachodzi
: <math>\angle O_iOO_j = \angle K_iOK_j,</math>

a ponieważ są styczne wewnętrznie
: <math>\overline{OO_i} = R - R_i.</math>

Łatwo również zauważyć, że kąty <math>\angle K_iCK_j</math> i <math>\angle K_iOK_j</math> to, odpowiednio, [[kąt środkowy]] i [[kąt wpisany]] oparte na tym samym łuku <math>K_iK_j.</math> Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym wynika, że
: <math>\angle K_iCK_j=2\angle K_iOK_j</math>

Niech <math>C</math> będzie punktem na okręgu <math>O.</math> Z [[twierdzenie sinusów|twierdzenia sinusów]] w trójkącie <math>K_iCK_j{:}</math>
: <math>\overline{K_iK_j} = 2R\cdot \sin\angle K_iCK_j = 2R\cdot \sin\frac{\angle K_iOK_j}{2}</math>

Zatem
: <math>\cos\angle K_iOK_j = 1-2\sin^2\frac{\angle K_iOK_j}{2}=1-2\cdot \left(\frac{\overline{K_iK_j}}{2R}\right)^2 = 1 - \frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}</math>

podstawiając je do wzoru {{LinkWzór|1b}}:
: <math>\overline{O_iO_j}^2=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)\left(1-\frac{\overline{K_iK_j}^2}{2R^2}\right)</math>
: <math>\overline{O_iO_j}^2=(R-R_i)^2+(R-R_j)^2-2(R-R_i)(R-R_j)+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}</math>
: <math>\overline{O_iO_j}^2=((R-R_i)-(R-R_j))^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}</math>
: <math>\overline{O_iO_j}^2=(R_i-R_j)^2+(R-R_i)(R-R_j)\cdot \frac{\overline{K_iK_j}^2}{R^2}</math>

Ostatecznie, długość której szukamy, to
: {{wzór|<math>t_{ij}=\sqrt{\overline{O_iO_j}^2-(R_i-R_j)^2}=\frac{\sqrt{R-R_i}\cdot \sqrt{R-R_j}\cdot \overline{K_iK_j}}{R}.</math>|1c}}

Możemy teraz obliczyć ile wynosi lewa strona równania {{LinkWzór|1}}; wymnażając wartości <math>t_{ij}</math> oraz używając oryginalnego twierdzenia Ptolemeusza, zastosowanego do wpisanego czworokąta <math>K_1K_2K_3K_4</math> otrzymujemy:
: <math>\begin{align}
  &t_{12}t_{34}+t_{14}t_{23} \\[1ex]
={} &\frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}\left(\overline{K_1K_2}\cdot \overline{K_3K_4}+\overline{K_1K_4}\cdot \overline{K_2K_3}\right) \\[1ex]
={} &\frac{1}{R^2}\cdot \sqrt{R-R_1}\sqrt{R-R_2}\sqrt{R-R_3}\sqrt{R-R_4}\left(\overline{K_1K_3}\cdot \overline{K_2K_4}\right) \\[1ex]
={} &t_{13}t_{24},
\end{align}</math>

co było do okazania.

== Uogólnienia i uwagi ==
[[Plik:Casey inne.svg|thumb|350px|Przypadek twierdzenia Caseya, gdy dwa okręgi są styczne wewnętrznie, a dwa zewnętrznie]]
Łatwo wyobrazić sobie przypadek, gdy nie wszystkie z czterech mniejszych okręgów są styczne wewnętrznie. Twierdzenie powyższe, z drobną modyfikacją, pozostaje prawdziwe dla okręgów stycznych zarówno wewnętrznie, jak i zewnętrznie{{odn|Johnson|1960|s=124}}:

: Jeśli <math>O_i, O_j</math> są oba styczne z tej samej strony <math>O</math> (tj. oba zewnętrznie lub oba wewnętrznie), to <math>t_{ij}</math> jest długością odcinka stycznej zewnętrznej zawartego pomiędzy punktami styczności.

: Jeśli zaś <math>O_i, O_j</math> są styczne z różnych stron <math>O</math> (jeden zewnętrznie, a drugi wewnętrznie), to <math>t_{ij}</math> jest długością odcinka [[styczna wewnętrzna|stycznej wewnętrznej]] zawartego pomiędzy punktami styczności.

Tok dowodu podanego powyżej pozostaje taki sam, poza zmianą dwóch wielkości: jeśli okrąg <math>O_i</math> jest styczny zewnętrznie do <math>O,</math> to oczywiście
: <math>\overline{OO_i}=R+R_i.</math>

Oprócz tego, gdy <math>O_i, O_j</math> są styczne po przeciwnych stronach okręgu <math>O</math> (ponownie załóżmy, że <math>O_i</math> jest styczny zewnętrznie, a <math>O_j</math> wewnętrznie), to długość odcinka <math>t_{ij}</math> {{LinkWzór|1a}} spełnia wtedy zależność
[[Plik:Casey inne2.svg|thumb|350px|Przypadek twierdzenia Caseya, gdy jeden okręg jest styczny wewnętrznie, a trzy zewnętrznie]]
: <math>t_{ij}^2=\overline{O_iO_j}^2-(R_i+R_j)^2,</math>

co po analogicznych przekształceniach daje
: <math>t_{ij}=\frac{\sqrt{R+R_i}\cdot \sqrt{R-R_j}\cdot \overline{K_iK_j}}{R}.</math>

Gdy z kolei oba okręgi <math>O_i, O_j</math> są styczne zewnętrznie, to odcinek styczny ponownie spełnia zależność {{LinkWzór|1a}}, a jego długość wynosi
: <math>t_{ij}=\frac{\sqrt{R+R_i}\cdot \sqrt{R+R_j}\cdot \overline{K_iK_j}}{R}.</math>

Ostatecznie więc, dla dwóch okręgów <math>O_i, O_j,</math> stycznych, w tej kolejności, do <math>O</math> w dowolny sposób zmodyfikowana długość odcinka <math>t_{ij}</math> {{LinkWzór|1c}} wynosi
: <math>t_{ij}=\frac{\sqrt{R\pm R_i}\cdot \sqrt{R\pm R_j}\cdot \overline{K_iK_j}}{R},</math>

gdzie znak w wyrażeniach <math>R\pm R_i</math> zależy od tego, czy okrąg <math>O_i</math> jest styczny wewnętrznie (-), czy zewnętrznie (+).

== Twierdzenie odwrotne ==
Należy również zauważyć, że twierdzenie odwrotne do twierdzenia Caseya jest prawdziwe. Jeśli zachodzi równość {{LinkWzór|1}}, to okręgi dane są styczne. Co więcej, prawdziwe jest mocniejsze twierdzenie{{odn|Johnson|1960|s=125–126}}{{odn|Pawłowski|Zakrzewska|2010}}:
: Niech dane będą cztery okręgi <math>O_1, O_2, O_3, O_4.</math> Dla pewnych odcinków stycznych (wewnętrznych lub zewnętrznych) <math>t_{ij}</math> pomiędzy okręgami <math>O_i, O_j</math> zachodzi
:: {{wzór|<math>t_{12}t_{34}\pm t_{23}t_{41}\pm t_{13}t_{24}=0,</math>|3}}

: wtedy i tylko wtedy, gdy okręgi te są w tej kolejności styczne do pewnego okręgu <math>O.</math> Ponadto, rodzaj odcinków stycznych użytych w {{LinkWzór|3}} określa jak okręgi te są styczne:

:* jeśli wszystkie odcinki styczne są zewnętrzne, to wszystkie okręgi <math>O_1, O_2, O_3, O_4</math> są styczne w ten sam sposób do <math>O</math> (albo wszystkie wewnętrznie, albo wszystkie zewnętrznie),
:* jeśli odcinki styczne wychodzące z jednego z okręgów są innego rodzaju niż pozostałe trzy, to okrąg ten jest styczny w inny sposób, niż pozostałe trzy,
:* jeśli okręgi <math>O_1, O_2, O_3, O_4</math> można podzielić w pary tak, by odcinki styczne pomiędzy okręgami w każdej z par są odcinkami stycznymi zewnętrznymi, a pomiędzy okręgami różnych par – zewnętrznymi, to okręgi w parach są tak samo styczne do okręgu <math>O.</math>

== Zastosowania ==
Twierdzenie Caseya i twierdzenie doń odwrotne jest używane do dowodzenia wielu twierdzeń z geometrii euklidesowej. Najkrótszym znanym dowodem [[Okrąg dziewięciu punktów|twierdzenia Feuerbacha]] jest użycie twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Caseya{{odn|Casey|1866}}{{odn|Shirali}}. Wykorzystanie twierdzenie Caseya znaleźć można również w jednej z japońskich zagadek rysunkowych [[sangaku]] z 1874 roku{{odn|Rothman|1998}}{{odn|Dymek|2012}}.

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Bottema |imię = O. |tytuł= Topics in Elementary Geometry |url=http://pds12.egloos.com/pds/200903/31/93/a0100793_O._Bottema_-Topics_in_Elementary_Geometry.pdf |wydawca= Springer |rok = 2008 |odn=tak}}
* {{cytuj pismo |nazwisko = Zacharias |imię = M. |tytuł=Der Caseysche Satz |czasopismo = Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung |wolumin = 52 |rok = 1942 |strony=79–89 |odn=tak}}
* {{cytuj pismo |nazwisko=Casey |imię=John |czasopismo=Math. Proc. R. Ir. Acad. |wolumin=9 |strony=396 |odn=tak}}
* {{cytuj książkę |nazwisko= Johnson |imię= Roger A. |tytuł = Advanced Euclidean Geometry (dawn. Modern Geometry) |wydawca= Dover |miejsce= Nowy York |rok=1960 |odn=tak}}
* {{cytuj książkę |tytuł=Matematyka. Poszukuję - odkrywam. Zeszyt 1 |miejsce=Kraków |rok=2010 |wydawca=Wydawnictwo Szkole Omega |nazwisko r=Pawłowski |imię r=Henryk |nazwisko2 r=Zakrzewska |imię2 r=Joanna |rozdział=O pewnym uogólnieniu Twierdzenia Ptolemeusza |strony=13–24 |odn=tak}}
* {{cytuj pismo |nazwisko = Rothman |imię = Tony |nazwisko2 =Fukagawa |imię2 =Hidetoshi |tytuł = Japanese temple geometry |url=http://web.archive.org/web/20140221225433/http://www.physics.princeton.edu/~trothman/templegeometry.pdf |czasopismo = [[Scientific American]] |rok = 1998 |numer= 278 |strony=84–91 |miesiąc = maj |odn=tak}}
* {{cytuj pismo |nazwisko = Dymek |imię = Anna |tytuł = Japońska geometria świątynna |url=http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/geometria/planimetria/2012/04/28/jgs.pdf |czasopismo = Delta |rok = 2012 |miesiąc = maj |odn=tak}}
* {{cytuj stronę |url=http://journals.cms.math.ca/cgi-bin/vault/public/view/CRUXv22n2/body/PDF/page49-53.pdf?file=page49-53 |tytuł=On a generalized Ptolemy Theorem |nazwisko=Shirali |imię=Shailesh |odn=tak}}

== Linki zewnętrzne ==
* {{MathWorld | adres=CaseysTheorem | tytuł=Casey’s Theorem | data dostępu=2020-12-14}}

{{Okręgi}}

[[Kategoria:Twierdzenia o okręgach|Caseya]]