Tekst źródłowy strony Twierdzenie Carathéodory’ego (teoria miary)

{{spis treści}}
'''Twierdzenie Carathéodory’ego''' – [[twierdzenie]] [[teoria miary|teorii miary]] umożliwiające konstrukcję [[miara (matematyka)|miary]] w oparciu o daną [[miara zewnętrzna|miarę zewnętrzną]]; bywa ono stosowane do konstrukcji [[Miara Lebesgue’a|miary Lebesgue’a]] z miary zewnętrznej Lebesgue’a. Twierdzenie to zostało udowodnione przez [[Constantin Carathéodory|Constantina Carathéodory’ego]] w 1914 roku<ref>C. Carathéodory, [http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002504006&IDDOC=63534 Über das lineare Mass von Punktmengen, eine Verallgemeinerung des Längenbegriffs]. „Nachr. Gesell. Wiss. Göttingen” (1914), s. 404–426.</ref>.

== Twierdzenie ==
Niech <math>X</math> będzie niepustym zbiorem oraz
: <math>\mu^*\colon P(X) \to [0, \infty]</math>

będzie funkcją, dla której
: <math>\mu^*(\varnothing) = 0,</math>

gdzie <math>P(X)</math> oznacza [[zbiór potęgowy]] zbioru <math>X.</math>

Mówi się, że zbiór <math>A \subseteq X</math> spełnia ''warunek Carathéodory’ego'' (względem <math>\mu^*</math>), gdy dla każdego zbioru <math>E \subseteq X</math> zachodzi równość
: <math>\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^{\operatorname c}).</math>

Wówczas rodzina <math>C(\mu^*)</math> podzbiorów <math>X,</math> które spełniają warunek Carathéodory’ego względem <math>\mu^*,</math> jest [[ciało zbiorów|algebrą zbiorów]], a <math>\mu</math> będąca zawężeniem <math>\mu^*</math> do <math>C(\mu^*)</math> jest [[miara skończenie addytywna|miarą skończenie addytywną]] (tzn. jest [[funkcja addytywna zbioru|addytywna]]). Co więcej, jeśli <math>\mu^*</math> jest [[miara zewnętrzna|miarą zewnętrzną]] (tzn. jest również [[funkcja monotoniczna|monotoniczna]] i [[funkcja addytywna (algebra)|przeliczalnie podaddytywna]]), to <math>C(\mu^*)</math> jest [[przestrzeń mierzalna|σ-algebrą]] oraz <math>\mu^*</math> zawężona do rodziny <math>C(\mu^*)</math> jest [[miara (matematyka)|miarą]] (tzn. jest [[funkcja addytywna zbioru|przeliczalnie addytywna]]), która jest [[miara zupełna|zupełna]].

== Dowód ==
Dowód składa się z pięciu części. Wykorzystuje on standardowe techniki, szeroko stosowane w [[teoria miary|teorii miary]]. Pierwsze dwa kroki mają na celu wykazanie, iż <math>C(\mu^*)</math> jest algebrą, zaś <math>\mu</math> jest addytywna; trzeci i czwarty gwarantują – przy założeniu, iż <math>\mu^*</math> jest [[miara zewnętrzna|miarą zewnętrzną]] – że rodzina <math>C(\mu^*)</math> jest zamknięta ze względu na [[suma zbiorów|sumy]] przeliczalnie wielu zbiorów, a <math>\mu^*</math> jest σ-addytywna, tzn. <math>C(\mu^*)</math> jest σ-algebrą, a <math>\mu</math> określoną na niej [[miara (matematyka)|miarą]]. W ostatnim kroku dowodzi się [[miara zupełna|zupełności]] miary <math>\mu.</math>

=== Algebra ===
; Należenie zbioru pustego
: [[Zbiór pusty]] spełnia warunek Carathéodory’ego, ponieważ z założenia <math>\mu^*(\varnothing) = 0</math> oraz
:: <math>\mu^*(E \cap \varnothing) + \mu^*(E \cap X) = \mu^*(\varnothing) + \mu^*(E) = \mu^*(E)</math>
: dla każdego <math>E</math> zawartego w <math>X.</math>

; Zamkniętość ze względu na dopełnienia
: Warunek Carathéodory’ego jest niezmienniczy względem brania [[dopełnienie zbioru|dopełnienia]], tzn. jeśli <math>A</math> spełnia warunek Carathéodory’ego, to spełnia go również <math>A^c.</math>

; Zamkniętość ze względu na sumy skończone
[[Plik:disjoint union.png|right]]
: Niech <math>A</math> oraz <math>B</math> należą do <math>C(\mu^*)</math> oraz <math>E</math> będzie dowolnym podzbiorem <math>X.</math> Zachodzą równości
:: <math>\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c)</math>
: oraz
:: <math>\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c \cap B) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c \cap B^\operatorname c).</math>
: Z tożsamości <math>E \cap A = E \cap (A \cup B) \cap A</math> oraz <math>E \cap A^c \cap B = E \cap (A \cup B) \cap A^c</math> oraz założenia, że <math>A</math> spełnia warunek Carathéodory’ego wynika, iż
:: <math>\mu^*\big(E \cap (A \cup B)\big) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c \cap B),</math>
: skąd
:: <math>\mu^*(E) = \mu^*\big(E \cap (A \cup B)\big) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c \cap B^\operatorname c) = \mu^*\big(E \cap (A \cup B)\big) + \mu^*\big(E \cap (A \cup B)^\operatorname c\big).</math>
: Dowodzi to, że <math>A \cup B</math> spełnia warunek Carathéodory’ego, a zatem należy do <math>C(\mu^*).</math>

=== Addytywność zawężenia ===
Dla danych [[zbiory rozłączne|zbiorów rozłącznych]] <math>A</math> i <math>B</math> należących do <math>C(\mu^*)</math> zachodzi równość
: <math>\mu^*(A \cup B) = \mu^*\big((A \cup B) \cap A\big) + \mu^*\big((A \cup B) \cap A^\operatorname c\big) = \mu^*(A) + \mu^*(B).</math>

Pokazuje to, że zawężenie <math>\mu^*</math> do rodziny <math>C(\mu^*)</math> jest addytywną funkcją zbiorów.

=== σ-algebra ===
: ''Niżej zakłada się, że <math>\mu^*</math> jest [[miara zewnętrzna|miarą zewnętrzną]].''

Niech <math>(C_i)</math> będzie przeliczalną [[rodzina zbiorów|rodziną]] zbiorów należących do <math>C(\mu^*)</math> oraz niech <math>E</math> będzie dowolnym podzbiorem zbioru <math>X.</math> Utwórzmy przeliczalne rodziny <math>(A_i),</math> <math>(B_i)</math> następująco:
: <math>A_1=C_1,\quad C_n =A_n\setminus \Big(\bigcup_{i=1}^{n-1} A_i\Big)\quad \text{dla }n=2,3,4,\dots</math>
: <math>B_n = \bigcup_{i=1}^n A_i,</math>

oraz wprowadźmy oznaczenie
: <math>B := \bigcup_{i=1}^\infty A_i.</math>

Zbiory <math>A_n</math> są parami rozłączne i zachodzi oczywista równość
: <math>B = \bigcup_{i=1}^\infty C_i.</math>

Dla każdego <math>n</math> zachodzi inkluzja <math>B_n \subseteq B,</math> skąd <math>B_n^c \supseteq B^c.</math> Korzystając z monotoniczności <math>\mu^*,</math> otrzymujemy oszacowanie
: <math>\mu^*(E) = \mu^*(E \cap B_n) + \mu^*(E \cap B_n^\operatorname c) \geqslant \mu^*(E \cap B_n) + \mu^*(E \cap B^\operatorname c).</math>

Z faktu, że każdy zbiór <math>A_n</math> spełnia warunek Carathéodory’ego, wnioskujemy, że dla <math>n\geqslant 2</math> prawdziwa jest tożsamość
: <math>\mu^*(E \cap B_n) = \mu^*(E \cap A_n) + \mu^*(E \cap B_{n-1}).</math>

Na mocy zasady [[indukcja matematyczna|indukcji]] matematycznej, równość
: <math>\mu^*(E \cap B_n) = \sum_{i = 1}^n \mu^*(E \cap A_i)</math>

zachodzi dla wszystkich <math>n\in\mathbb{N}.</math> Ostatecznie,
: <math>\mu^*(E) \geqslant \sum_{i = 1}^n \mu^* (E \cap A_i) + \mu^*(E \cap B^\operatorname c)\quad(n\in \mathbb{N}).</math>

Wykonując przejście graniczne, otrzymujemy oszacowanie
: <math>\mu^*(E) \geqslant \sum_{i = 1}^\infty \mu^* (E \cap A_i) + \mu^*(E \cap B^\operatorname c).</math>

Z przeliczalnej podaddytywności <math>\mu^*</math> wynika nierówność
: <math>\sum_{i = 1}^\infty \mu^*(E \cap A_i) \geqslant \mu^*\left(\bigcup_{i = 1}^\infty (E \cap A_i)\right) = \mu^*(E \cap B).</math>

Łącząc otrzymane związki i korzystając ponownie z przeliczalnej podaddytywności <math>\mu^*,</math> uzyskujemy zależność
: <math>\mu^*(E) \geqslant \mu^*(E \cap B) + \mu^*(E \cap B^\operatorname c) \geqslant \mu^*\big((E \cap B) \cup (E \cap B^\operatorname c)\big) = \mu^*(E).</math>

=== Miara ===
: ''Niżej zakłada się, że <math>\mu^*</math> jest [[miara zewnętrzna|miarą zewnętrzną]].''

Niech <math>(A_i)</math> będzie przeliczalną [[rodzina zbiorów|rodziną]] parami rozłącznych zbiorów należących do <math>C(\mu^*).</math> Niech ponadto <math>B</math> będzie sumą wszystkich zbiorów <math>A_i.</math> Z addytywności i monotoniczności <math>\mu^*</math> wynika, że dla dowolnego <math>n</math> zachodzi równość
: <math>\mu^*(A_1) + \ldots + \mu^*(A_n) = \mu^*(A_1 \cup \ldots \cup A_n) \leqslant \mu^*(B).</math>

Wykonując przejście graniczne, otrzymujemy oszacowanie
: <math>\sum_{i = 1}^\infty \mu^*(A_i) \leqslant \mu^*(B).</math>

Przeliczalna podaddytywność <math>\mu^*</math> daje nierówność w drugą stronę.

=== Zupełność ===
: ''Niżej zakłada się, że <math>\mu^*</math> jest [[miara zewnętrzna|miarą zewnętrzną]].''

Należy wykazać, że każdy podzbiór <math>A</math> zbioru <math>X</math> spełniający warunek <math>\mu^*(A) = 0</math> należy do <math>C(\mu^*).</math> Niech <math>E</math> będzie dowolnym podzbiorem zbioru <math>X.</math> Wówczas
: <math>\mu^*(E) = \mu^*\big((E \cap A) \cup (E \cap A^\operatorname c)\big) \leqslant \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \cap A^\operatorname c) \leqslant \mu^*(A) + \mu^*(E) = \mu^*(E).</math>

Niech <math>Z</math> będzie podzbiorem zbioru <math>X</math> spełniającym warunek <math>\mu^*(Z) = 0</math> oraz niech <math>A</math> będzie dowolnym podzbiorem zbioru <math>Z.</math> Z monotoniczności <math>\mu^*</math> wynika, że <math>0 \leqslant \mu^*(A) \leqslant \mu^*(Z) = 0,</math> a więc <math>\mu^*(A) = 0.</math> Ostatecznie, <math>A</math> należy do rodziny <math>C(\mu^*).</math>

== Zobacz też ==
* [[twierdzenie Hahna-Kołmogorowa]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Bibliografia ==
* {{cytuj książkę |nazwisko = Halmos |imię = Paul R. |autor link = Paul Halmos |tytuł = Measure Theory |seria = Graduate Texts in Mathematics |tom = 18 |miejsce = Berlin Heidelberg |wydawca = Springer-Verlag |rok = 2001 |isbn = 3-540-90088-8}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Bogachev |imię = Vladimir |tytuł = Measure theory |tom = 1 |rok = 2006 |wydawca = Springer |isbn = 3-540-34513-2}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Folland |imię = Gerald |tytuł = Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications |rok = 1999 |wydawca = Wiley-Interscience |isbn = 0-471-31716-0}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Fremlin |imię = David H. |tytuł = Measure theory. Volume 1: The Irreducible Minimum |rok = 2004 |wydawca = Torres-Fremlin}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Lang |imię = Serge |autor link = Serge Lang |tytuł = Real and Functional Analysis |rok = 1993 |wydawca = Springer |isbn = 0-387-94001-4}}
* {{cytuj książkę |nazwisko = Kołodziej |imię = Witold |tytuł = Analiza matematyczna |wydanie = II |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|PWN]] |rok = 1978 |isbn = 83-01-00275-1}}

[[Kategoria:Twierdzenia teorii miary|Carathéodory’ego (teoria miary)]]