Tekst źródłowy strony Twierdzenie Brouwera o zachowaniu otwartości

'''Twierdzenie Brouwera o zachowaniu otwartości''' – twierdzenie [[topologia|topologii]] sformułowane i udowodnione w [[1912]] przez [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|Jana Brouwera]]<ref>Brouwer L. Zur Invarianz des ''n''-dimensionalen Gebiets, ''Mathematische Annalen'' 72 (1912), s. 55–56.</ref>. Mówi ono, że podzbiór [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]] [[homeomorfizm|homeomorficzny]] z podzbiorem [[zbiór otwarty|otwartym]] tej przestrzeni jest jej podzbiorem otwartym.

[[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|Brouwer]] użył w dowodzie wprowadzonych przez siebie metod [[topologia algebraiczna|topologii algebraicznej]], a w szczególności [[Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym|twierdzenia Brouwera o punkcie stałym]].

Twierdzenie to bywa również nazywane ''twierdzeniem o niezmienniczości obszaru'' (ang. ''Invariance of Domain)''.

== Inne sformułowanie ==
Twierdzenie to można również wypowiedzieć w następujący sposób:
: Jeżeli [[funkcja]] <math>h:U \to \mathbb{R}^n</math> jest [[Funkcja ciągła|ciągłą]] [[Funkcja różnowartościowa|injekcją]] [[Zbiór otwarty|zbioru otwartego]] <math>U \subset \mathbb{R}^n</math> na zbiór <math>V = h(U),</math> to zbiór <math>V</math> jest otwarty w <math>\mathbb{R}^n.</math>

== Wnioski ==
* Przestrzenie euklidesowe różniące się wymiarami nie są homeomorficzne. Rzeczywiście, gdyby bowiem istniał homeomorfizm <math>h: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m, m \neq n</math> (możemy założyć, że <math>m < n</math>), a <math>i: \mathbb{R}^m \hookrightarrow \mathbb{R}^n</math> było naturalnym [[Funkcja|odwzorowaniem]] [[zanurzenie (matematyka)|włożenia]], to [[Złożenie funkcji|złożenie]] <math>ih: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> byłoby homeomorfizmem, a więc w szczególności przeprowadzałoby całą przestrzeń <math>\mathbb{R}^n</math> na podzbiór otwarty zawarty w <math>i(\mathbb{R}^m).</math> Jedynym otwartym podzbiorem <math>i(\mathbb{R}^m)</math> jest zbiór pusty, a zatem z otrzymanej sprzeczności wnosimy, że musi być <math>m = n.</math>
* Nie istnieją [[funkcja ciągła|odwzorowania ciągłe]] [[Funkcja wzajemnie jednoznaczna|wzajemnie jednoznaczne]] przestrzeni euklidesowej na przestrzenie euklidesowe różniące się od niej [[wymiar (matematyka)|wymiarem]].

== Uwagi ==
* Twierdzenie Brouwera pozostaje prawdziwe jeśli przestrzenie euklidesowe zamienimy na [[rozmaitość|rozmaitości]]. Mianowicie, jeśli <math>M</math> i <math>N</math> są <math>n</math>-wymiarowymi rozmaitościami bez brzegu, a odwzorowanie <math>h:M \to N</math> jest ciągłe i lokalnie [[funkcja różnowartościowa|różnowartościowe]], to jest ono również [[Odwzorowania otwarte i domknięte|otwarte]].
* W pewnych przestrzeniach twierdzenie Brouwera przestaje być prawdziwe. Najprostszym przykładem może być [[przestrzeń Hilberta]] <math>\ell^2</math> oraz odwzorowanie <math>h: \ell^2 \to \ell^2,</math> takie że <math>h(x_1,x_2,\dots) = (0,x_1,x_2,\dots).</math> Jest ono ciągłe i różnowartościowe, a przeprowadza przestrzeń <math>\ell^2</math> na zbiór o pustym [[Wnętrze (matematyka)|wnętrzu]].

== Zobacz też ==
* [[dywan Sierpińskiego]]
* [[rozmaitość topologiczna]]
* [[twierdzenie Brouwera o punkcie stałym]]

== Przypisy ==
{{Przypisy}}

== Literatura ==
# {{cytuj książkę |nazwisko=Mioduszewski |imię=Jerzy |autor link=Jerzy Mioduszewski |tytuł=Wykłady z topologii. Topologia przestrzeni euklidesowych |miejsce=Katowice |wydawca=Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego |rok=1994 |strony=94–96}}

[[Kategoria:Twierdzenia topologii|Brouwera o zachowaniu otwartości]]