Tekst źródłowy strony Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym

'''Twierdzenie Brouwera o punkcie stałym:'''
: Każde ciągłe odwzorowanie [[sympleks (matematyka)|sympleksu]]{{u|Kulasympleks}} <math>s</math> w siebie ma [[punkt stały]].

Przez sympleks rozumie się tu sympleks domknięty, dowolnego, nieujemnego [[wymiar (matematyka)|wymiaru]] (a więc niepusty).

''n''-wymiarowy sympleks standardowy zdefiniowany jest jako najmniejszy [[zbiór wypukły]] w <math>\mathbb{R}^{n+1},</math> zawierający <math>n+1</math> punktów leżących na dodatnich [[Oś współrzędnych|półosiach]] współrzędnych, w odległości 1 od początku [[Układ współrzędnych|układu współrzędnych]] (inaczej: [[Otoczka wypukła|otoczkę wypukłą]] punktów o współrzędnej 1 ze wszystkich <math>n+1</math> osi). Inne sympleksy są obrazami standardowych przy [[Przekształcenie afiniczne|odwzorowaniach afinicznych]]. Zresztą twierdzenie zachodzi dla każdej z przestrzeni topologicznych, homeomorficznej z jednym z sympleksów standardowych, np. dla kuli <math>\mathbb D^n\subset\mathbb R^n.</math> Takie przestrzenie nazywamy sympleksami topologicznymi.

Twierdzenie Brouwera pochodzi z [[1910]] roku i pojawiło się jako wynik rozważań [[Luitzen Egbertus Jan Brouwer|Brouwera]] o piątym [[Problemy Hilberta|problemie Hilberta]]{{r|L E J Brouwer Ueber eineindeutige}}. Na początku sformułował je on tylko dla przestrzeni <math>\mathbb{R}^2,</math> ale szybko rozszerzył również w wyższe [[Wymiar (matematyka)|wymiary]]. Obecnie wiadomo również, że równoważne twierdzenia zostały udowodnione wcześniej przez [[Łotwa|łotewskiego]] matematyka [[Piers Bohl|Piersa Bohla]] w [[1904]] roku oraz [[Francja|francuskiego]] matematyka [[Henri Poincaré]]go w [[1886]] roku{{r|P Bohl Ueber die Beweging|H Poincaré Sur les courbes}}.

Twierdzenie Brouwera wynika z [[Twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym|twierdzenia Lefschetza o punkcie stałym]] oraz jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego [[Twierdzenie Schaudera o punkcie stałym|twierdzenia Schaudera o punkcie stałym]].

== Zastosowania ==
* Jeżeli <math>\mathbb D^{n+1}</math> jest kulą jednostkową w <math>\mathbb R^{n+1},</math> to jej powierzchnia ([[Homeomorfizm|homeomorficzna]] ze sferą <math>\mathbb S^n</math>) nie jest jej [[Retrakcja (topologia)|retraktem]]. Istotnie, gdyby istniała retrakcja <math>r:\mathbb D^{n+1}\to\mathbb S^n,</math> to odwzorowanie <math>f:\mathbb D^{n+1}\to\mathbb D^{n+1}</math> takie, że <math>f(x)=-r(x)</math> nie miałoby punktów stałych wbrew twierdzeniu Brouwera. Jeśli <math>x\in\mathbb S^n,</math> to <math>x=r(x),</math> a więc <math>x\neq f(x).</math> Zaś gdy <math>x\in\mathbb D^{n+1}\setminus\mathbb S^n,</math> to <math>x\neq f(x)</math> bo <math>f(x)\in\mathbb S^n</math><ref name="Duda">{{cytuj książkę |autor = R. Duda |tytuł = Wprowadzenie do topologii. Część I. Topologia ogólna |strony = 322–323 |rok = 1986 |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|PWN]] |miejsce = Warszawa |isbn = 83-01-05714-9}}</ref>.
* Żadna sfera <math>\mathbb S^n</math> nie jest ściągalna. Istotnie, każdy różny od 0 punkt kuli <math>\mathbb D^{n+1}</math> można jednoznacznie przedstawić w postaci <math>tx</math> dla pewnych <math>x\in\mathbb S^n</math> oraz <math>t\in (0,1].</math> Gdyby istniała [[homotopia]] <math>h_t:\mathbb S^n\to\mathbb S^n</math> od identyczności <math>\mathcal i=h_0</math> do [[funkcja stała|odwzorowania stałego]], to przekształcenie <math>r:\mathbb D^{n+1}\to\mathbb D^{n+1}, tx\mapsto h_{1-t}(x)</math> byłoby retrakcją kuli na jej powierzchnię<ref name="Duda" />.

== Zobacz też ==
* [[twierdzenie Lefschetza o punkcie stałym]]
* [[twierdzenie Schaudera o punkcie stałym]]

== Uwagi ==
{{Uwagi|
<ref name="Kulasympleks">Twierdzenie Brouwera zostało sformułowane dla kuli ''n''-wymiarowej, ale formułuje się je też w równoważnym przypadku ''n''-wymiarowego sympleksu, są to bowiem zbiory homeomorficzne.</ref>
}}

== Przypisy ==
<references>
<ref name="H Poincaré Sur les courbes">H. Poincaré, ''Sur les courbes definies par les équations différentielles'', „J. de Math.”, '''2''' (1886).</ref>
<ref name="L E J Brouwer Ueber eineindeutige">L.E.J. Brouwer, ''Ueber eineindeutige, stetige Transformationen von Flächen in sich'', „Math. Ann.”, '''69''' (1910), s. 176–180.</ref>
<ref name="P Bohl Ueber die Beweging">P. Bohl, ''Ueber die Beweging eines mechanischen Systems in der Nähe einer Gleichgewichtslage'', „J. Reine Angew. Math.”, '''127''' (1904), s. 179–276.</ref>
</references>

== Linki zewnętrzne ==
* {{Pismo Delta | url = temat/matematyka/topologia/2020/06/29/elementarnie-o-twierdzeniu-brouwera/ | autor = Jarosław Górnicki | tytuł = Elementarnie o twierdzeniu Brouwera | data = lipiec 2020 | data dostępu = 2023-08-26}}
* [http://web.archive.org/web/20110928122044/http://eom.springer.de/B/b017670.htm Brouwer theorem] {{lang|en}} Encyclopaedia of Mathematics, SpringerLink
* {{otwarty dostęp}} ''[https://www.youtube.com/watch?v=djaSbHKK5yc Proving Brouwer’s Fixed Point Theorem]'', kanał PBS Infinite Series na [[YouTube]], 18 stycznia 2018 [dostęp 2024-08-29].

{{Funkcje ciągłe}}

{{Kontrola autorytatywna}}

{{SORTUJ:Brouwera o punkcie stałym}}
[[Kategoria:Twierdzenia o punkcie stałym]]
[[Kategoria:Twierdzenia topologii]]